Quantos átomos de Fe (
) estão presentes numa célula CCC? Estime o parâmetro de rede (a0) desta célula.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Quantos átomos de Fe existem numa célula CCC (cúbica de corpo centrado)?
- Estimar o parâmetro de rede
dessa célula sabendo que o raio atômico de Fe é .
Dados fornecidos:
Passo 2
Contagem de átomos numa célula CCC (explicação passo a passo e por que):
- Numa célula cúbica existem 8 átomos nos vértices (cantos). Cada átomo de vértice é compartilhado por 8 células vizinhas, então a contribuição de cada vértice para a célula é
. - Soma da contribuição dos vértices:
átomo efetivo vindo dos cantos. - Além disso, na célula CCC há um átomo inteiro no centro da célula (não é compartilhado).
- Total de átomos por célula:
(dos cantos) (do centro) .
Passo 3
Relação geométrica entre raio atômico
e parâmetro de rede
numa célula CCC (por que vale
):
- Considere a diagonal do cubo que liga dois vértices opostos (diagonal espacial ou diagonal do corpo). O comprimento dessa diagonal é
, onde é o parâmetro da célula (aresta do cubo). - Ao longo dessa diagonal passam: o centro de um átomo no vértice, o átomo central da célula e o átomo no vértice oposto. Como todos os átomos têm o mesmo raio
e estão em contato ao longo dessa reta, a distância entre os centros dos dois vértices opostos é composta por quatro raios em linha: (do vértice) (do átomo central tocando os dois vértices) (do vértice oposto) . - Portanto a igualdade geométrica é:
Aqui
é o parâmetro de rede que queremos estimar e
é o raio atômico.
Passo 4
Isolando
e substituindo
:
- Fórmula para
:
- Calcule o numerador:
. - Use
. Então
- Divisão:
. - Logo o parâmetro de rede estimado é
.
Passo 5
Resumo didático-final e incentivo:
- Resumindo: a contagem de átomos por célula é uma contagem de contribuições (vértices compartilhados + centro inteiro). A relação entre
e vem da geometria da diagonal do cubo. Você já fez o mais difícil — visualizar e escrever ; o resto é conta. Vai bem, continue praticando que isso fica natural rápido!
Resposta
Número de átomos por célula CCC:
Parâmetro de rede estimado:
Parâmetro de rede estimado: