Quantos átomos de Fe ( r=1,24 \AA ) estão presentes numa célula CCC? Estime o parâmetro de rede (a0) desta célula.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Quantos átomos de Fe existem numa célula CCC (cúbica de corpo centrado)?
  2. Estimar o parâmetro de rede \,a_0 dessa célula sabendo que o raio atômico de Fe é \,r=1,24\\ \AA.
Dados fornecidos:
\;r=1,24\\ \AA.

Passo 2

Contagem de átomos numa célula CCC (explicação passo a passo e por que):
  • Numa célula cúbica existem 8 átomos nos vértices (cantos). Cada átomo de vértice é compartilhado por 8 células vizinhas, então a contribuição de cada vértice para a célula é \tfrac{1}{8}.
  • Soma da contribuição dos vértices: 8 \times \tfrac{1}{8} = 1 átomo efetivo vindo dos cantos.
  • Além disso, na célula CCC há um átomo inteiro no centro da célula (não é compartilhado).
  • Total de átomos por célula: 1 (dos cantos) +\;1 (do centro) =\;2.

Passo 3

Relação geométrica entre raio atômico \,r e parâmetro de rede \,a numa célula CCC (por que vale \sqrt{3}a=4r):
  • Considere a diagonal do cubo que liga dois vértices opostos (diagonal espacial ou diagonal do corpo). O comprimento dessa diagonal é \sqrt{3}\,a, onde \,a é o parâmetro da célula (aresta do cubo).
  • Ao longo dessa diagonal passam: o centro de um átomo no vértice, o átomo central da célula e o átomo no vértice oposto. Como todos os átomos têm o mesmo raio \,r e estão em contato ao longo dessa reta, a distância entre os centros dos dois vértices opostos é composta por quatro raios em linha: r (do vértice) +\;2r (do átomo central tocando os dois vértices) +\;r (do vértice oposto) =\;4r.
  • Portanto a igualdade geométrica é:
\sqrt{3}\,a = 4r.
Aqui \,a é o parâmetro de rede que queremos estimar e \,r é o raio atômico.

Passo 4

Isolando a e substituindo r=1,24\\ \AA:
  • Fórmula para a:
a = \frac{4r}{\sqrt{3}}.
  • Calcule o numerador: 4r = 4\times 1,24 = 4,96\\ \AA.
  • Use \sqrt{3}\approx 1,732. Então
a \approx \frac{4,96}{1,732}.
  • Divisão: 4,96\div 1,732 \approx 2,864.
  • Logo o parâmetro de rede estimado é a \approx 2,864\\ \AA.

Passo 5

Resumo didático-final e incentivo:
  • Resumindo: a contagem de átomos por célula é uma contagem de contribuições (vértices compartilhados + centro inteiro). A relação entre r e a vem da geometria da diagonal do cubo. Você já fez o mais difícil — visualizar e escrever \sqrt{3}a=4r; o resto é conta. Vai bem, continue praticando que isso fica natural rápido!

Resposta

Número de átomos por célula CCC: 2
Parâmetro de rede estimado: a_0 \approx 2,864\\ \AA

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