Quantos números inteiros entre 1 e 10.000 têm soma dos dígitos igual a 12 ?
Passo 1
O enunciado pergunta quantos inteiros entre 1 e 10000 têm soma dos dígitos igual a 12. O conteúdo aqui é contagem de soluções inteiras não negativas com restrição de soma e limite em cada variável (cada dígito varia de 0 a 9). Vamos modelar cada número como um tuplo de quatro dígitos
, admitindo zeros à esquerda, de modo que
e
.
Passo 2
Sem a restrição superior
, o número de soluções de
com
é dado por stars and bars:
Passo 3
Agora precisamos excluir as soluções em que algum
. Seja
o conjunto de soluções com
. Para contar
, façamos
. Então
contando-se soluções não negativas em quatro variáveis. Isso vale
Como há 4 dígitos, pela inclusão-exclusão somamos os casos individuais:
.
Passo 4
Interseções duplas
seriam casos em que dois dígitos são
, o que exigiria soma mínima
, impossível pois queremos soma total 12. Logo não há termos de ordem
na inclusão-exclusão.
Passo 5
Pela fórmula de inclusão-exclusão, o total válido é
Isso corresponde a todos os inteiros de 0 até 9999 com soma de dígitos 12. O número 10000 não entra porque sua soma de dígitos é 1.
Resposta
415