Quantos números inteiros entre 1 e 10.000 têm soma dos dígitos igual a 12 ?

Passo 1

O enunciado pergunta quantos inteiros entre 1 e 10000 têm soma dos dígitos igual a 12. O conteúdo aqui é contagem de soluções inteiras não negativas com restrição de soma e limite em cada variável (cada dígito varia de 0 a 9). Vamos modelar cada número como um tuplo de quatro dígitos (d_1,d_2,d_3,d_4), admitindo zeros à esquerda, de modo que
d_1+d_2+d_3+d_4=12
e 0\le d_i\le9.

Passo 2

Sem a restrição superior d_i\le9, o número de soluções de
d_1+d_2+d_3+d_4=12
com d_i\ge0 é dado por stars and bars:
\binom{12+4-1}{4-1} = \binom{15}{3} = 455.

Passo 3

Agora precisamos excluir as soluções em que algum d_i\ge10. Seja A_i o conjunto de soluções com d_i\ge10. Para contar \lvert A_i\rvert, façamos d_i'=d_i-10\ge0. Então
d_i' + \sum_{j\ne i} d_j =12-10=2,
contando-se soluções não negativas em quatro variáveis. Isso vale
\binom{2+4-1}{4-1} = \binom{5}{3} =10.
Como há 4 dígitos, pela inclusão-exclusão somamos os casos individuais: \sum_i\lvert A_i\rvert =4\cdot10=40.

Passo 4

Interseções duplas A_i\cap A_j seriam casos em que dois dígitos são >=10, o que exigiria soma mínima 20, impossível pois queremos soma total 12. Logo não há termos de ordem >=2 na inclusão-exclusão.

Passo 5

Pela fórmula de inclusão-exclusão, o total válido é
455 - 40 = 415.
Isso corresponde a todos os inteiros de 0 até 9999 com soma de dígitos 12. O número 10000 não entra porque sua soma de dígitos é 1.

Resposta

415

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