O quartzo ( \mathrm{SiO}_{2} ) tem estrutura cristalina hexagonal com parâmetros de rede ao igual a 4,913 Å e co igual a 5,405 \AA, assim como densidade de 2,65 \mathrm{Mg} / \mathrm{m}^{3}. Determine o número de fórmula de \mathrm{SiO}_{2} na célula unitária.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o número de fórmulas de \mathrm{SiO}_{2} contidas na célula unitária (ou seja, o valor de Z — quantas unidades fórmula \mathrm{SiO}_{2} há em cada célula).
Informações dadas:
a = 4,913\,\text{\AA},\qquad c = 5,405\,\text{\AA}
\text{densidade } \rho = 2,65\,\text{Mg}\,\text{m}^{-3}
Observação: não resolvo nada aqui; apenas listei o que foi fornecido e o que se pede.

Passo 2

Entendendo a geometria da célula hexagonal e como calcular seu volume. A célula unitária hexagonal é um prisma com base formada por dois vetores de módulo a que fazem ângulo de 120^\circ. A área da base (um paralelogramo formado por esses vetores) vale
A_{\text{base}} = a^{2}\sin(120^\circ).
Como \sin(120^\circ)=\sin(60^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
A_{\text{base}} = a^{2}\frac{\sqrt{3}}{2}.
Multiplicando pela altura c, o volume da célula unitária hexagonal é
V_{\text{cel}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a^{2}c.
Explicação didática rápida: pense na base como um losango com lados a e ângulo 120^\circ; a área de um paralelogramo é \text{lado}_1\cdot\text{lado}_2\cdot\sin(\theta).

Passo 3

Converter unidades e calcular numericamente o volume da célula.
Conversões úteis:
1\,\text{\AA} = 10^{-10}\,\text{m},\qquad 1\,\text{Å}^3 = 10^{-30}\,\text{m}^3.Å
Transformando a e c para metros:
a = 4,913\times10^{-10}\,\text{m},\qquad c = 5,405\times10^{-10}\,\text{m}.
Calcule a^{2}c (mostrando as contas de forma prática):
a^{2} = (4,913\times10^{-10})^{2} = 4,913^{2}\times10^{-20}\approx 24,137\times10^{-20}=2,4137\times10^{-19}\,\text{m}^{2},
a^{2}c \approx 2,4137\times10^{-19}\times5,405\times10^{-10} \approx 13,046\times10^{-29}=1,3046\times10^{-28}\,\text{m}^{3}.
Agora multiplica-se por \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,8660254:
V_{\text{cel}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a^{2}c \approx 0,8660254\times1,3046\times10^{-28}\,\text{m}^{3} \approx 1,129\times10^{-28}\,\text{m}^{3}.
Como checagem alternativa em Å ^3: a^{2}c em Å ^3 é 4,913^{2}\times5,405\approx130,46\,\text{\AA}^3 e multiplicando por 0,866 \approx112,99\,\text{\AA}^3, que corresponde a 112,99\times10^{-30}\,\text{m}^{3}=1,1299\times10^{-28}\,\text{m}^{3}. Portanto usamos
V_{\text{cel}}\approx 1,129\times10^{-28}\,\text{m}^{3}.

Passo 4

Calcular a massa de material contida em uma célula unitária usando a densidade.
Primeiro converter a densidade para unidades SI padrão (kg/m ^3). Dado \rho = 2,65\,\text{Mg}\,\text{m}^{-3}. Como 1\,\text{Mg}=10^{3}\,\text{kg},
\rho = 2,65\times10^{3}\,\text{kg}\,\text{m}^{-3}=2650\,\text{kg}\,\text{m}^{-3}.
A massa por célula é m_{\text{cel}}=\rho V_{\text{cel}}:
m_{\text{cel}} = 2650\times1,129\times10^{-28}\,\text{kg} \approx 2,992\times10^{-25}\,\text{kg}.
Converter para gramas (mais conveniente para usar com massas molares): 1\,\text{kg}=10^{3}\,\text{g}, então
m_{\text{cel}}\approx 2,992\times10^{-22}\,\text{g}.

Passo 5

Relacionar massa por célula com número de fórmulas usando massa molar e constante de Avogadro.
Massa molar da fórmula \mathrm{SiO}_{2}:
M(\mathrm{SiO}_{2}) = M(\mathrm{Si}) + 2M(\mathrm{O}) \approx 28,0855 + 2\times16,0000 \approx 60,0855\,\text{g}\,\text{mol}^{-1}.
Constante de Avogadro:
N_{A}=6,022\times10^{23}\,\text{mol}^{-1}.
Se a célula contém Z unidades-fórmula \mathrm{SiO}_{2}, a massa da célula deve ser
m_{\text{cel}} = Z\cdot\frac{M(\mathrm{SiO}_{2})}{N_{A}}.
Isolando Z:
Z = \frac{m_{\text{cel}}\,N_{A}}{M(\mathrm{SiO}_{2})}.

Passo 6

Calcular numericamente Z com os valores obtidos.
Substituindo m_{\text{cel}}\approx 2,992\times10^{-22}\,\text{g}, N_{A}=6,022\times10^{23}\,\text{mol}^{-1} e M=60,0855\,\text{g}\,\text{mol}^{-1}:
Z \approx \frac{2,992\times10^{-22}\times6,022\times10^{23}}{60,0855}.
Calcule o numerador:
2,992\times10^{-22}\times6,022\times10^{23} \approx (2,992\times6,022)\times10^{1} \approx 18,02\times10^{1}=180,2.
Agora divide:
Z \approx \frac{180,2}{60,0855} \approx 3,00.
Interpretando: Z deve ser um número inteiro (número de unidades-fórmula por célula). O resultado numérico aproxima-se muito de 3, portanto
Z = 3.
Breve comentário motivador: acertamos um valor inteiro e conhecido para quartzo ( \alpha-quartz tem 3 fórmulas por célula), então a conta bate bem.

Resposta

\;Z=3

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