O quartzo (
) tem estrutura cristalina hexagonal com parâmetros de rede ao igual a 4,913 Å e co igual a
, assim como densidade de
. Determine o número de fórmula de
na célula unitária.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o número de fórmulas de
contidas na célula unitária (ou seja, o valor de
— quantas unidades fórmula
há em cada célula).
Informações dadas:
Observação: não resolvo nada aqui; apenas listei o que foi fornecido e o que se pede.
Passo 2
Entendendo a geometria da célula hexagonal e como calcular seu volume. A célula unitária hexagonal é um prisma com base formada por dois vetores de módulo
que fazem ângulo de
. A área da base (um paralelogramo formado por esses vetores) vale
Como
, temos
Multiplicando pela altura
, o volume da célula unitária hexagonal é
Explicação didática rápida: pense na base como um losango com lados
e ângulo
; a área de um paralelogramo é
.
Passo 3
Converter unidades e calcular numericamente o volume da célula.
Conversões úteis:
Transformando
e
para metros:
Calcule
(mostrando as contas de forma prática):
Agora multiplica-se por
:
Como checagem alternativa em Å
:
em Å
é
e multiplicando por
dá
, que corresponde a
. Portanto usamos
Passo 4
Calcular a massa de material contida em uma célula unitária usando a densidade.
Primeiro converter a densidade para unidades SI padrão (kg/m
). Dado
. Como
,
A massa por célula é
:
Converter para gramas (mais conveniente para usar com massas molares):
, então
Passo 5
Relacionar massa por célula com número de fórmulas usando massa molar e constante de Avogadro.
Massa molar da fórmula
:
Constante de Avogadro:
Se a célula contém
unidades-fórmula
, a massa da célula deve ser
Isolando
:
Passo 6
Calcular numericamente
com os valores obtidos.
Substituindo
,
e
:
Calcule o numerador:
Agora divide:
Interpretando:
deve ser um número inteiro (número de unidades-fórmula por célula). O resultado numérico aproxima-se muito de
, portanto
Breve comentário motivador: acertamos um valor inteiro e conhecido para quartzo (
-quartz tem 3 fórmulas por célula), então a conta bate bem.