Quatro esferas condutoras idênticas estão inicialmente isoladas (sem contato entre si), e descarregadas (neutras). Carrega-se então uma delas com uma carga positiva de valor desconhecido, porém não nulo, e a seguir as quatro esferas são postas em contato, em uma dada configuração. Em cada caso a seguir determine, para a situação de equilíbrio, quais esferas terão carga nula (caso isso ocorra), quais terão carga negativa (idem), e quais terão cargas iguais entre si (idem).
(c) As quatro esferas estão perfeitamente alinhadas;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (não resolvo ainda, só organizo os dados).
  • Temos quatro esferas condutoras idênticas. Inicialmente todas estão isoladas e neutras.
  • Uma delas recebe uma carga positiva de valor desconhecido e não nulo; chamo essa carga de Q>0.
  • Em seguida as quatro esferas são postas em contato, na configuração mostrada no item (c): as quatro esferas estão perfeitamente alinhadas (isto é, formam uma cadeia onde cada esfera toca a vizinha).
  • O enunciado pede, no estado de equilíbrio eletrostático:
    • quais esferas terão carga nula (caso ocorra);
    • quais terão carga negativa (caso ocorra);
    • quais terão cargas iguais entre si (caso ocorra).
Observações que já ficam claras a partir do enunciado:
  • Depois que as quatro esferas são postas em contato elas constituem um único condutor conectado; a carga total do sistema permanece Q (conservação de carga).
  • A configuração de contato é uma cadeia de quatro esferas; esta configuração tem uma simetria de reflexão no plano que troca a esfera 1 com a 4 e a 2 com a 3 (isto será útil).

Passo 2

Princípios físicos fundamentais que vamos usar (explicados de forma simples).
  1. Conservação da carga:
\text{carga total} = Q.
Ao colocar as esferas em contato não há perda nem ganho de carga (não há terra), portanto a soma das cargas finais nas quatro esferas é Q.
  1. Condutores em contato e equipotencialidade:
    Quando condutores ficam em contato elétrico eles passam a ser um único condutor. Nesse estado de equilíbrio eletrostático toda a superfície conectada está ao mesmo potencial elétrico. Em outras palavras, não pode haver diferença de potencial entre as esferas conectadas; isso força uma redistribuição de carga até que o potencial seja o mesmo em toda a estrutura.
  2. Simetria geométrica e consequências:
    Se o conjunto de condutores tem alguma simetria geométrica, a distribuição de carga de equilíbrio respeita essa simetria. Aqui a cadeia de quatro esferas tem simetria de reflexão que troca 1↔4 e 2↔3; portanto, no equilíbrio teremos necessariamente as igualdades de carga entre esferas trocadas pela simetria.
(Dica concreta: pense as esferas numeradas 1–2–3–4 em linha. A reflexão que inverte a linha manda a esfera 1 na posição da 4 e a 2 na posição da 3. Como as esferas são idênticas e a geometria é a mesma após essa reflexão, as cargas correspondentes têm que ser iguais.)

Passo 3

Aplique os princípios ao caso concreto e escreva as igualdades impostas pela simetria.
Seja \,q_1,q_2,q_3,q_4\, as cargas finais nas esferas 1,2,3,4, respectivamente. Pela simetria da cadeia em linha temos obrigatoriamente
q_1 = q_4,\qquad q_2 = q_3.
Além disso, pela conservação da carga,
q_1+q_2+q_3+q_4 = Q.
Usando as igualdades da simetria isso reduz para
2q_1 + 2q_2 = Q \quad\Longrightarrow\quad q_1 + q_2 = \frac{Q}{2}.
Isto diz que a soma da carga de uma esfera externa mais a de uma esfera interna (por exemplo q_1+q_2) é metade da carga total.
Importante: a partir dessa relação e da simetria já sabemos quais pares de esferas terão cargas iguais (ou seja, garantimos q_1=q_4 e q_2=q_3). Não precisamos conhecer os valores numéricos de q_1 e q_2 para responder sobre igualdade/zero/negatividade.

Passo 4

Argumento sobre sinais (por que não aparecem cargas nulas ou negativas).
  • O sistema formado pelas quatro esferas em contato é um único condutor isolado com carga total positiva Q>0. Para um condutor isolado contínuo em equilíbrio eletrostático, a carga total positiva implica que a carga superficial líquida é positiva: não existe razão física para que, numa superfície contínua sem contato com terra, apareçam regiões com carga negativa compensadas por regiões positivas de forma a tornar certas esferas completamente negativas enquanto outras ficam muito positivas. Em termos mais simples: sem conexão com terra ou com outro corpo que forneça carga negativa, não se gera carga negativa isoladamente num dos pedaços do condutor a partir de uma carga total positiva.
  • Outra maneira de ver: todas as partes conectadas formam um único corpo condutor; a densidade de carga na superfície ajusta-se de modo que o potencial seja uniforme. Com carga total positiva e sem outras influências externas, a superfície total terá carga de sinal positivo (ou nula em pontos específicos, mas não tipicamente negativa em uma esfera inteira).
Conclusão lógica: não haverá esferas com carga negativa inteira nem esferas neutras (carga nula) como resultado do contato: a carga total é Q>0 e distribui-se pelas quatro esferas de modo que cada uma receba uma fração positiva dessa carga. Portanto, todas as quatro esferas ficarão carregadas positivamente.
(Nota: pontos ou pequenas regiões com carga local próxima de zero podem existir, mas o enunciado pergunta quais esferas terão carga nula ou negativa — a resposta para uma esfera inteira ser nula ou negativa é negativa: não ocorre.)

Passo 5

Resumo das igualdades e do sinal, com linguagem didática para memorização rápida na prova.
  • Igualdades por simetria: as duas esferas externas (1 e 4) têm cargas iguais; as duas esferas internas (2 e 3) têm cargas iguais: q_1 = q_4,\qquad q_2 = q_3.
  • Conservação de carga dá a relação q_1+q_2 = \frac{Q}{2}.Mas não é necessário calcular q_1 e q_2 numericamente para responder às perguntas pedidas.
  • Sinal das cargas: como o sistema total tem carga positiva Q>0 e é um único condutor isolado, cada esfera terá carga positiva; portanto não há esferas com carga zero nem com carga negativa.
Se quiseres, na prova podes complementar dizendo que só sabendo detalhes de capacidade mútua entre esferas poderia-se calcular q_1 e q_2 numericamente; mas para a questão qualitativa pedida isto não é preciso.

Resposta

Nenhuma esfera terá carga nula.
Nenhuma esfera terá carga negativa.
As esferas externas têm cargas iguais entre si ( q_1=q_4).
As esferas internas têm cargas iguais entre si ( q_2=q_3).