Quatro esferas condutoras idênticas estão inicialmente isoladas (sem contato entre si), e descarregadas (neutras). Carrega-se então uma delas com uma carga positiva de valor desconhecido, porém não nulo, e a seguir as quatro esferas são postas em contato, em uma dada configuração. Em cada caso a seguir determine, para a situação de equilíbrio, quais esferas terão carga nula (caso isso ocorra), quais terão carga negativa (idem), e quais terão cargas iguais entre si (idem).
(c) As quatro esferas estão perfeitamente alinhadas;
(c) As quatro esferas estão perfeitamente alinhadas;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (não resolvo ainda, só organizo os dados).
- Temos quatro esferas condutoras idênticas. Inicialmente todas estão isoladas e neutras.
- Uma delas recebe uma carga positiva de valor desconhecido e não nulo; chamo essa carga de
. - Em seguida as quatro esferas são postas em contato, na configuração mostrada no item (c): as quatro esferas estão perfeitamente alinhadas (isto é, formam uma cadeia onde cada esfera toca a vizinha).
- O enunciado pede, no estado de equilíbrio eletrostático:
- quais esferas terão carga nula (caso ocorra);
- quais terão carga negativa (caso ocorra);
- quais terão cargas iguais entre si (caso ocorra).
Observações que já ficam claras a partir do enunciado:
- Depois que as quatro esferas são postas em contato elas constituem um único condutor conectado; a carga total do sistema permanece
(conservação de carga). - A configuração de contato é uma cadeia de quatro esferas; esta configuração tem uma simetria de reflexão no plano que troca a esfera 1 com a 4 e a 2 com a 3 (isto será útil).
Passo 2
Princípios físicos fundamentais que vamos usar (explicados de forma simples).
- Conservação da carga:
Ao colocar as esferas em contato não há perda nem ganho de carga (não há terra), portanto a soma das cargas finais nas quatro esferas é
.
-
Condutores em contato e equipotencialidade:
Quando condutores ficam em contato elétrico eles passam a ser um único condutor. Nesse estado de equilíbrio eletrostático toda a superfície conectada está ao mesmo potencial elétrico. Em outras palavras, não pode haver diferença de potencial entre as esferas conectadas; isso força uma redistribuição de carga até que o potencial seja o mesmo em toda a estrutura. -
Simetria geométrica e consequências:
Se o conjunto de condutores tem alguma simetria geométrica, a distribuição de carga de equilíbrio respeita essa simetria. Aqui a cadeia de quatro esferas tem simetria de reflexão que troca 1↔4 e 2↔3; portanto, no equilíbrio teremos necessariamente as igualdades de carga entre esferas trocadas pela simetria.
(Dica concreta: pense as esferas numeradas 1–2–3–4 em linha. A reflexão que inverte a linha manda a esfera 1 na posição da 4 e a 2 na posição da 3. Como as esferas são idênticas e a geometria é a mesma após essa reflexão, as cargas correspondentes têm que ser iguais.)
Passo 3
Aplique os princípios ao caso concreto e escreva as igualdades impostas pela simetria.
Seja
as cargas finais nas esferas 1,2,3,4, respectivamente. Pela simetria da cadeia em linha temos obrigatoriamente
Além disso, pela conservação da carga,
Usando as igualdades da simetria isso reduz para
Isto diz que a soma da carga de uma esfera externa mais a de uma esfera interna (por exemplo
) é metade da carga total.
Importante: a partir dessa relação e da simetria já sabemos quais pares de esferas terão cargas iguais (ou seja, garantimos
e
). Não precisamos conhecer os valores numéricos de
e
para responder sobre igualdade/zero/negatividade.
Passo 4
Argumento sobre sinais (por que não aparecem cargas nulas ou negativas).
- O sistema formado pelas quatro esferas em contato é um único condutor isolado com carga total positiva
. Para um condutor isolado contínuo em equilíbrio eletrostático, a carga total positiva implica que a carga superficial líquida é positiva: não existe razão física para que, numa superfície contínua sem contato com terra, apareçam regiões com carga negativa compensadas por regiões positivas de forma a tornar certas esferas completamente negativas enquanto outras ficam muito positivas. Em termos mais simples: sem conexão com terra ou com outro corpo que forneça carga negativa, não se gera carga negativa isoladamente num dos pedaços do condutor a partir de uma carga total positiva. - Outra maneira de ver: todas as partes conectadas formam um único corpo condutor; a densidade de carga na superfície ajusta-se de modo que o potencial seja uniforme. Com carga total positiva e sem outras influências externas, a superfície total terá carga de sinal positivo (ou nula em pontos específicos, mas não tipicamente negativa em uma esfera inteira).
Conclusão lógica: não haverá esferas com carga negativa inteira nem esferas neutras (carga nula) como resultado do contato: a carga total é
e distribui-se pelas quatro esferas de modo que cada uma receba uma fração positiva dessa carga. Portanto, todas as quatro esferas ficarão carregadas positivamente.
(Nota: pontos ou pequenas regiões com carga local próxima de zero podem existir, mas o enunciado pergunta quais esferas terão carga nula ou negativa — a resposta para uma esfera inteira ser nula ou negativa é negativa: não ocorre.)
Passo 5
Resumo das igualdades e do sinal, com linguagem didática para memorização rápida na prova.
- Igualdades por simetria: as duas esferas externas (1 e 4) têm cargas iguais; as duas esferas internas (2 e 3) têm cargas iguais:
- Conservação de carga dá a relação
Mas não é necessário calcular e numericamente para responder às perguntas pedidas. - Sinal das cargas: como o sistema total tem carga positiva
e é um único condutor isolado, cada esfera terá carga positiva; portanto não há esferas com carga zero nem com carga negativa.
Se quiseres, na prova podes complementar dizendo que só sabendo detalhes de capacidade mútua entre esferas poderia-se calcular
e
numericamente; mas para a questão qualitativa pedida isto não é preciso.
Resposta
Nenhuma esfera terá carga nula.
Nenhuma esfera terá carga negativa.
As esferas externas têm cargas iguais entre si ( ).
As esferas internas têm cargas iguais entre si ( ).
Nenhuma esfera terá carga negativa.
As esferas externas têm cargas iguais entre si (
As esferas internas têm cargas iguais entre si (