Uma queda de pressão de 500 kPa não deve ser excedida em um tubo de ferro fundido horizontal de 200 m de comprimento e 10 cm de diâmetro. Calcule a vazão máxima se o fluido for:
(a) Água a 20^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá um tubo horizontal de ferro fundido com comprimento L=200 m e diâmetro interno D=0{,}10 m. Não devemos exceder uma queda de pressão \Delta p=500 kPa quando se escoa água a 20^\circC. O objetivo é achar a vazão volumétrica máxima Q. Vamos usar a equação de Darcy–Weisbach para queda de carga e estimar o fator de atrito com a fórmula de Blasius, válida para escoamento turbulento em tubos relativamente suaves.

Passo 2

Primeiro, anotamos as propriedades da água a 20^\circC:
\rho = 998\\ \mathrm{kg/m^3}, \quad \nu = 1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 3

A equação de Darcy–Weisbach relaciona a queda de pressão com a velocidade média V:
\Delta p \;=\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho\,V^2}{2}.
Desse modo,
V \;=\;\sqrt{\frac{2\,D\,\Delta p}{f\,\rho\,L}}.

Passo 4

Para tubulação suave em escoamento turbulento, adotamos a fórmula de Blasius:
f = \frac{0{,}3164}{\displaystyle \Re^{0,25}}, \quad \Re = \frac{V\,D}{\nu}.
Como f depende de \Re e \Re depende de V, faremos iterações simples.

Passo 5

  1. Chute inicial: f_0 = 0{,}02.
  2. Calcula-se
V_0 = \sqrt{\frac{2 \times 0{,}10 \times 500\times10^3}{0{,}02 \times 998 \times 200}} = 0{,}1581\\ \mathrm{m/s},
\Re_0 = \frac{0{,}1581 \times 0{,}10}{1{,}00\times10^{-6}} = 1{,}58\times10^4,
f_1 = \frac{0{,}3164}{(1{,}58\times10^4)^{0,25}} = 0{,}0183.
  1. Nova iteração com f_1:
V_1 = \sqrt{\frac{2 \times 0{,}10 \times 500\times10^3}{0{,}0183 \times 998 \times 200}} = 0{,}1651\\ \mathrm{m/s},
\Re_1 = \frac{0{,}1651 \times 0{,}10}{1{,}00\times10^{-6}} = 1{,}65\times10^4,
f_2 = \frac{0{,}3164}{(1{,}65\times10^4)^{0,25}} = 0{,}0180.
O valor converge rápido. Adotamos V \approx 0{,}166 m/s.

Passo 6

A vazão volumétrica é
Q = V \times A \quad\text{com}\quad A = \frac{\pi\,D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}10)^2}{4} = 7{,}854\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
Logo
Q = 0{,}166 \times 7{,}854\times10^{-3} = 1{,}30\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} = 1{,}30\\ \mathrm{L/s}.

Resposta

A vazão máxima aproximada é Q \approx 1{,}30\\ \mathrm{L/s}.

Exercícios relacionados