QUESTÃO 01 : Avalie os limites.
(i) \lim _{x \rightarrow \frac{5 \pi}{4}}\left(\cos x+x^{2}+2\right).

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x\to \tfrac{5\pi}{4}}\big(\cos x + x^{2} + 2\big).
Informações dadas:
  • A função considerada é a soma de três parcelas: \cos x, x^{2} e 2.
  • O ponto onde x tende é x=\tfrac{5\pi}{4}.

Passo 2

Regra útil (explicação didática): a operação “limite de soma” pode ser separada em soma dos limites quando os limites parciais existem. Ou seja, se os três limites existem, então
\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)+h(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)+\lim_{x\to a}h(x).
Além disso, funções contínuas satisfazem que o limite quando x tende a a é simplesmente o valor da função em a. As funções \cos x e x^{2} são contínuas em todo \mathbb{R}, e a constante 2 é contínua também. Portanto é permitido substituir x por \tfrac{5\pi}{4} em cada parcela:
\lim_{x\to \tfrac{5\pi}{4}}\big(\cos x + x^{2} + 2\big) = \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right) + \left(\tfrac{5\pi}{4}\right)^{2} + 2.

Passo 3

Calcular \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right). Na circunferência unitária, o ângulo \tfrac{5\pi}{4} corresponde a 225^\circ, que está no terceiro quadrante. O ângulo referência é \tfrac{\pi}{4} e \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. No terceiro quadrante o cosseno é negativo, então
\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Calcular a parte polinomial em x=\tfrac{5\pi}{4}:
\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)^{2} + 2 = \frac{25\pi^{2}}{16} + 2.

Passo 5

Somando as parcelas obtidas:
\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right) + \left(\tfrac{5\pi}{4}\right)^{2} + 2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{25\pi^{2}}{16} + 2.
Podemos colocar em um denominador comum 16 para apresentar numa forma única:
-\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{8\sqrt{2}}{16}, \qquad 2 = \frac{32}{16},
portanto
-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{25\pi^{2}}{16} + 2 = \frac{25\pi^{2} + 32 - 8\sqrt{2}}{16}.

Passo 6

(Verificação numérica rápida, só para intuir o valor) Calculando aproximadamente: \pi^{2}\approx 9{,}8696 então 25\pi^{2}\approx 246{,}74; 25\pi^{2}+32-8\sqrt{2}\approx 267{,}43; dividido por 16 dá aproximadamente 16{,}71. Tudo coerente com a expressão exata acima.

Resposta

\displaystyle \frac{25\pi^{2}+32-8\sqrt{2}}{16}

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