Questão 01- Considere um sinal contínuo
, tal que:
O sinal
foi amostrado com
. Com esses dados responda: É possível a reconstrução do sinal com um filtro ideal? Se sim, qual deve ser a variação da frequência de corte do filtro passa-baixa ideal de recuperação?
Passo 1
O enunciado dá um sinal contínuo e pergunta sobre reconstrução a partir de amostras. Informações fornecidas:
- O sinal é
. -
. -
. - Frequência angular de amostragem:
.
Perguntas que o enunciado faz:
- É possível a reconstrução do sinal com um filtro ideal?
- Se sim, qual deve ser a variação (intervalo) da frequência de corte do filtro passa-baixa ideal de recuperação?
Passo 2
Primeira aula rápida (conceito necessário): o que acontece quando amostramos um sinal no domínio das frequências.
- A amostragem periódica em tempo gera cópias (réplicas) do espectro do sinal original deslocadas por múltiplos inteiros de
. Em forma simples:
onde
é o período de amostragem e
é o espectro do sinal contínuo.
- Para poder recuperar o sinal original por filtragem (com um filtro passa-baixa ideal que seleciona apenas a réplica central), as réplicas não podem se sobrepor ao eixo central. A condição de Nyquist em termos angulares é
onde
é a maior frequência angular presente no sinal. Se essa condição vale, existe uma “janela” entre o limite do espectro original e a réplica mais próxima onde podemos colocar a frequência de corte do filtro de recuperação.
Explicando as variáveis:
-
é a frequência angular de amostragem (dada). -
é a maior frequência angular do sinal contínuo (aqui será ). - O filtro de reconstrução ideal deve passar todas as componentes do sinal original (até
) e bloquear todas as réplicas (a partir da frequência onde começa a primeira réplica).
Passo 3
Calcular o maior componente de frequência do sinal:
Testar a condição de Nyquist:
Como
e
, a condição
é satisfeita. Portanto, em princípio, é possível reconstruir o sinal exatamente usando um filtro ideal de recuperação (não haverá sobreposição entre a réplica central e as réplicas adjacentes).
Passo 4
Segunda aula curta (onde ficam as réplicas e como escolher a frequência de corte).
-
As réplicas do espectro mais próximas do zero vêm de deslocamentos por
. Vamos listar as posições relevantes (pegando os dados do enunciado): - Para
: as réplicas por e são em , ou seja e ; também há que dá e . - Para
: as réplicas por e são em , ou seja e ; também há que dá e .
- Para
-
Das posições acima, as réplicas mais próximas de
têm magnitudes: -
(vêm de e de ), -
(vêm de ).
-
-
Portanto, a primeira réplica que pode provocar problema está em
. O espectro original ocupa até .
Passo 5
Conclusão sobre a escolha da frequência de corte do filtro de recuperação.
- O filtro ideal deve passar todas as frequências do sinal original, ou seja pelo menos até
. - O filtro deve atenuar (bloquear) as réplicas que começam em
. - Logo existe uma faixa segura para a frequência de corte
do filtro passa-baixa ideal:
Com os números:
- Na prática, para evitar ambiguidades de borda (impulsos exatamente no limite de corte), convém escolher
estritamente entre esses valores, por exemplo (que é exatamente ) é uma escolha comum e segura.
Passo 6
Resumo prático e recado motivacional curto: a resposta é sim — dá para reconstruir com filtro ideal porque
é maior que
. O intervalo de corte é o que garante que se passe o sinal original e se rejeitem as réplicas; escolha um valor interno a esse intervalo para evitar problemas de borda.
Resposta
Sim.
A frequência de corte do filtro passa-baixa ideal deve satisfazer (na prática escolher
, por exemplo
).
A frequência de corte do filtro passa-baixa ideal deve satisfazer