Questão 01- Considere um sinal contínuo \mathrm{x}(\mathrm{t}), tal que:
x(t)=\cos \omega_{0} t+\cos \omega_{1} t, \quad \omega_{0}=150 \mathrm{rad} / \mathrm{s} \text { e } \omega_{1}=250 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
O sinal \mathrm{x}(\mathrm{t}) foi amostrado com \omega_{s}=600 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Com esses dados responda: É possível a reconstrução do sinal com um filtro ideal? Se sim, qual deve ser a variação da frequência de corte do filtro passa-baixa ideal de recuperação?

Passo 1

O enunciado dá um sinal contínuo e pergunta sobre reconstrução a partir de amostras. Informações fornecidas:
  • O sinal é x(t)=\cos \omega_{0} t+\cos \omega_{1} t.
  • \omega_{0}=150\\ \mathrm{rad/s}.
  • \omega_{1}=250\\ \mathrm{rad/s}.
  • Frequência angular de amostragem: \omega_{s}=600\\ \mathrm{rad/s}.
Perguntas que o enunciado faz:
  1. É possível a reconstrução do sinal com um filtro ideal?
  2. Se sim, qual deve ser a variação (intervalo) da frequência de corte do filtro passa-baixa ideal de recuperação?

Passo 2

Primeira aula rápida (conceito necessário): o que acontece quando amostramos um sinal no domínio das frequências.
  • A amostragem periódica em tempo gera cópias (réplicas) do espectro do sinal original deslocadas por múltiplos inteiros de \omega_{s}. Em forma simples:
X_s(\omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\omega-k\omega_s),
onde T=2\pi/\omega_s é o período de amostragem e X(\omega) é o espectro do sinal contínuo.
  • Para poder recuperar o sinal original por filtragem (com um filtro passa-baixa ideal que seleciona apenas a réplica central), as réplicas não podem se sobrepor ao eixo central. A condição de Nyquist em termos angulares é
\omega_s > 2\omega_{\max},
onde \omega_{\max} é a maior frequência angular presente no sinal. Se essa condição vale, existe uma “janela” entre o limite do espectro original e a réplica mais próxima onde podemos colocar a frequência de corte do filtro de recuperação.
Explicando as variáveis:
  • \omega_s é a frequência angular de amostragem (dada).
  • \omega_{\max} é a maior frequência angular do sinal contínuo (aqui será \max(\omega_0,\omega_1)).
  • O filtro de reconstrução ideal deve passar todas as componentes do sinal original (até \omega_{\max}) e bloquear todas as réplicas (a partir da frequência onde começa a primeira réplica).

Passo 3

Calcular o maior componente de frequência do sinal:
\omega_{\max}=\max(\omega_0,\omega_1)=\max(150,250)=250\\ \mathrm{rad/s}.
Testar a condição de Nyquist:
2\omega_{\max}=2\cdot250=500\\ \mathrm{rad/s}.
Como \omega_s=600\\ \mathrm{rad/s} e 600>500, a condição \omega_s>2\omega_{\max} é satisfeita. Portanto, em princípio, é possível reconstruir o sinal exatamente usando um filtro ideal de recuperação (não haverá sobreposição entre a réplica central e as réplicas adjacentes).

Passo 4

Segunda aula curta (onde ficam as réplicas e como escolher a frequência de corte).
  • As réplicas do espectro mais próximas do zero vêm de deslocamentos por \pm\omega_s. Vamos listar as posições relevantes (pegando os dados do enunciado):
    • Para \omega_0=150: as réplicas por +1 e -1 são em \omega=150\pm600, ou seja \omega=750 e \omega=-450; também há \omega=-150\pm600 que dá \omega=450 e \omega=-750.
    • Para \omega_1=250: as réplicas por +1 e -1 são em \omega=250\pm600, ou seja \omega=850 e \omega=-350; também há \omega=-250\pm600 que dá \omega=350 e \omega=-850.
  • Das posições acima, as réplicas mais próximas de \omega=0 têm magnitudes:
    • 350\\ \mathrm{rad/s} (vêm de -\omega_1+\omega_s= -250+600=350 e de \omega_s-\omega_1),
    • 450\\ \mathrm{rad/s} (vêm de -\omega_0+\omega_s=-150+600=450).
  • Portanto, a primeira réplica que pode provocar problema está em |\omega|=350\\ \mathrm{rad/s}. O espectro original ocupa até |\omega|=250\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Conclusão sobre a escolha da frequência de corte do filtro de recuperação.
  • O filtro ideal deve passar todas as frequências do sinal original, ou seja pelo menos até |\omega|=\omega_{\max}=250\\ \mathrm{rad/s}.
  • O filtro deve atenuar (bloquear) as réplicas que começam em |\omega|=350\\ \mathrm{rad/s}.
  • Logo existe uma faixa segura para a frequência de corte \omega_c do filtro passa-baixa ideal:
\omega_{\max}\le \omega_c \le \omega_s-\omega_{\max}.
Com os números:
250\\ \mathrm{rad/s}\le \omega_c \le 350\\ \mathrm{rad/s}.
  • Na prática, para evitar ambiguidades de borda (impulsos exatamente no limite de corte), convém escolher \omega_c estritamente entre esses valores, por exemplo \omega_c=300\\ \mathrm{rad/s} (que é exatamente \omega_s/2) é uma escolha comum e segura.

Passo 6

Resumo prático e recado motivacional curto: a resposta é sim — dá para reconstruir com filtro ideal porque \omega_s é maior que 2\omega_{\max}. O intervalo de corte é o que garante que se passe o sinal original e se rejeitem as réplicas; escolha um valor interno a esse intervalo para evitar problemas de borda.

Resposta

Sim.
A frequência de corte do filtro passa-baixa ideal deve satisfazer \;250\\ \mathrm{rad/s}\le \omega_c \le 350\\ \mathrm{rad/s}\; (na prática escolher \;250<\omega_c<350\;, por exemplo \omega_c=300\\ \mathrm{rad/s}).

Exercícios relacionados