\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\operatorname{arctanh} x}{x}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{arctanh} x}{x}.
Informações relevantes dadas/observações que precisamos ter em mente:
  • A função \operatorname{arctanh} é a função inversa da tangente hiperbólica; para |x|<1 ela é real. Porém existe a fórmula fechada válida por continuação analítica (complexa)
\operatorname{arctanh} z=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+z}{1-z}\right),
válida para valores complexos z fora dos cortes apropriados (usaremos a ramo principal do logaritmo).
  • Para x>1 o quociente \dfrac{1+x}{1-x} é negativo, então o logaritmo natural assume uma parte imaginária \mathrm{i}\pi no ramo principal: para a<0 temos \ln(a)=\ln(|a|)+\mathrm{i}\pi.
  • Vamos usar a fórmula acima e estudar o comportamento assintótico quando x\to\infty para poder dividir por x e tirar o limite.

Passo 2

Primeiro, mostro rapidamente de onde vem a fórmula de \operatorname{arctanh}. Seja
y=\operatorname{arctanh} x\quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{tanh} y=x.
Pela definição \operatorname{tanh} y=\dfrac{e^{y}-e^{-y}}{e^{y}+e^{-y}}, então
\frac{e^{y}-e^{-y}}{e^{y}+e^{-y}}=x.
Multiplicando em cruz e isolando e^{2y}:
e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}.
Tomando logaritmo:
y=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).
Portanto
\operatorname{arctanh} x=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right),
o que é a fórmula que vamos usar (válida como continuação complexa para x>1).

Passo 3

Agora analiso o sinal de \dfrac{1+x}{1-x} quando x\to\infty. Para x>1 temos 1+x>0 e 1-x<0, logo
\frac{1+x}{1-x}<0.
No ramo principal do logaritmo, para número real negativo a,
\ln(a)=\ln(|a|)+\mathrm{i}\pi.
Assim, para x>1 podemos escrever
\operatorname{arctanh} x=\frac{1}{2}\Big(\ln\!\big|\tfrac{1+x}{1-x}\big|+\mathrm{i}\pi\Big).
Agora vejo o limite da parte logarítmica quando x\to\infty. Note que
\left|\frac{1+x}{1-x}\right|=\frac{1+x}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}\xrightarrow[x\to\infty]{}1.
Logo \ln\!\big|\tfrac{1+x}{1-x}\big|\to 0. Portanto a parte imaginária domina o valor limite da função \operatorname{arctanh} x:
\operatorname{arctanh} x \xrightarrow[x\to\infty]{} \frac{1}{2}\mathrm{i}\pi=\mathrm{i}\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Para ter um controle assintótico mais preciso (útil para dividir por x) faço uma expansão para grandes x. Reescrevo
\frac{1+x}{1-x}=-\frac{x+1}{x-1}=-\Big(1+\frac{2}{x-1}\Big).
Tomando valor absoluto e logaritmo:
\ln\!\Big|\frac{1+x}{1-x}\Big|=\ln\!\Big(1+\frac{2}{x-1}\Big).
Para t pequeno vale \ln(1+t)=t+o(t). Aqui t=\dfrac{2}{x-1} é pequeno quando x é grande, então
\ln\!\Big(1+\frac{2}{x-1}\Big)=\frac{2}{x-1}+o\!\Big(\frac{1}{x}\Big).
Substituindo na expressão de \operatorname{arctanh} x obtemos, para x\to\infty,
\operatorname{arctanh} x=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{x-1}+o\!\Big(\frac{1}{x}\Big)+\mathrm{i}\pi\right) =\frac{1}{x-1}+o\!\Big(\frac{1}{x}\Big)+\mathrm{i}\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Agora divido essa expansão por x:
\frac{\operatorname{arctanh} x}{x} =\frac{\mathrm{i}\pi/2}{x}+\frac{1}{x(x-1)}+o\!\Big(\frac{1}{x^2}\Big).
Cada termo tende a zero quando x\to\infty. Portanto o limite (no sentido complexo, e em particular as partes real e imaginária tendem a zero) é zero.

Resposta

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