(QUESTÃO 01) A purificação de hidrogênio pode ser feita por difusão do gás através de uma chapa de paládio a
. Calcule a quantidade de hidrogênio que passa por hora através de uma chapa de paládio com 6 mm de espessura e área de
a
. Assumir que o coeficiente de difusão é
e que as concentrações de hidrogênio dos dois lados da chapa são 2,0 e
e que o sistema está em regime estacionário. O engenheiro não ficou satisfeito com o resultado está propondo que o volume purificado aumente, assim quais sugestões você daria para melhorar os resultados. Justifique números ( 0,5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a quantidade de hidrogênio que passa por hora através da chapa de paládio nas condições dadas;
- Sugerir mudanças para aumentar o volume purificado, com justificativa numérica.
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
- Espessura da chapa:
. - Área da chapa:
. - Temperatura:
(usada apenas porque o coeficiente de difusão foi dado a essa temperatura). - Coeficiente de difusão:
. - Concentrações nos dois lados (regime estacionário): lado quente/alto =
, lado frio/baixo = .
O que vamos calcular: massa de hidrogênio que atravessa a chapa por hora (unidade final em
e também em
para intuição).
As sugestões para melhorar o resultado devem conter números (estimativas de quanto a vazão aumenta).
As sugestões para melhorar o resultado devem conter números (estimativas de quanto a vazão aumenta).
Passo 2
Qual a lei física que usamos e por quê (explicação didática)?
- Em regime estacionário e supondo que a concentração varia linearmente através da espessura da chapa, a difusão unidimensional é descrita pela Primeira Lei de Fick:
onde:
-
é o fluxo de massa por área ( ); -
é o coeficiente de difusão ( ); -
é a concentração ( ); -
é a coordenada na direção da espessura ( ). -
Para regime estacionário com gradiente aproximadamente linear entre as duas faces (
e ), a derivada é aproximada por . Assim, tomando a direção do fluxo do lado de maior concentração para o menor, obtemos:
- A massa que atravessa por segundo (vazão mássica) é
. Para obter por hora multiplicamos por .
Explicando em palavras: a vazão é proporcional a
, proporcional à diferença de concentração
, proporcional à área
e inversamente proporcional à espessura
. Essa relação é linear e simples — ótima para estimativas rápidas na prova.
Passo 3
Converter unidades e colocar os valores nas fórmulas:
- Converter
para metros:
- Valores:
Passo 4
Calcular o fluxo mássico por área
usando Fick:
Calcule a diferença de concentração:
Agora o numerador:
Dividindo por
:
Passo 5
Vazão mássica total (
) e conversão para por hora:
Passando para por hora (
):
Em gramas por hora:
Passo 6
Interpretação do resultado e verificação rápida de unidades:
- Resultado: aproximadamente
(ou ). - Verificação de unidades:
em vezes dividido por dá (fluxo por área); multiplicando por dá e por dá . Tudo consistente.
Comentário amigável: sim, é um número pequeno — só cerca de
por hora com a chapa e condições dadas.
Passo 7
Sugestões práticas para melhorar (aqui dou alternativas, cada uma com justificativa numérica usando a mesma relação
):
- Diminuir a espessura
. - Como
, reduzir aumenta a vazão na mesma proporção. - Exemplo numérico: reduzir para
(fator ):
- Como
- Justificativa prática: placas mais finas reduzem resistência à difusão; porém é preciso cuidar da resistência mecânica e da permeabilidade seletiva.
- Aumentar a área
. - Como
, aumentar área aumenta proporcionalmente. - Exemplo: aumentar para
(fator ):
- Como
- Combinar área maior com chapa mais fina (altamente eficaz).
- Usando ao mesmo tempo
e : fator combinado :
- Usando ao mesmo tempo
- Ou seja, com essas alterações razoáveis passa-se de
para — um aumento grande e mensurável.
-
Aumentar a diferença de concentração
(por exemplo aumentar ou reduzir ). -
é proporcional a . Dobrar dobra a vazão. - Ex.: se
passar de para mantendo igual, a vazão dobra para .
-
-
Aumentar o coeficiente de difusão
(por exemplo, operar a uma temperatura maior, usar ligas/permeadores com maior ou processos catalíticos). -
. Se for possível dobrar , dobra-se a vazão. - Observação:
costuma crescer com a temperatura segundo uma lei do tipo Arrhenius, mas para quantificar é preciso conhecer a energia de ativação; sem esse dado não se pode dar um número preciso — contudo, a proporcionalidade é direta.
-
-
Usar várias chapas em paralelo (aumenta efetivamente
sem aumentar a dimensão de cada chapa). - Por exemplo, 10 chapas idênticas em paralelo aumentam
em 10 vezes.
- Por exemplo, 10 chapas idênticas em paralelo aumentam
-
Projetos alternativos: membranas mais porosas/estruturadas ou aumentar a permeabilidade efetiva (aumenta
ou a área efetiva). Essas soluções podem ser mais complexas, mas são frequentemente usadas industrialmente.
Passo 8
Recomendação prática (considerando custo/benefício): a combinação de reduzir a espessura para valores industriais aceitáveis (ex.: 1 mm) com aumento moderado da área (por exemplo para
ou montagem em paralelo) dá o maior ganho por investimento relativamente baixo e é fácil de quantificar (como mostrei: chega a
). Se for possível também aumentar a diferença de concentração (por ex. pré-compressão ou pré-aquecimento do lado de entrada, ou retirada eficiente do lado de saída para manter
baixo), a vazão melhora linearmente.
Força final: escolha a(s) alteração(ões) conforme restrições mecânicas e econômicas — a fórmula simples que usamos mostra claramente o efeito de cada mudança, então fica fácil estimar custos versus ganho.
Resposta
Sugestão com justificativa numérica: reduzir