(QUESTÃO 01) A purificação de hidrogênio pode ser feita por difusão do gás através de uma chapa de paládio a 600^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a quantidade de hidrogênio que passa por hora através de uma chapa de paládio com 6 mm de espessura e área de 0,25 \mathrm{~m}^{2} a 600^{\circ} \mathrm{C}. Assumir que o coeficiente de difusão é 1,7 \times 10^{-8} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e que as concentrações de hidrogênio dos dois lados da chapa são 2,0 e 0,4 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e que o sistema está em regime estacionário. O engenheiro não ficou satisfeito com o resultado está propondo que o volume purificado aumente, assim quais sugestões você daria para melhorar os resultados. Justifique números ( 0,5 pontos)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a quantidade de hidrogênio que passa por hora através da chapa de paládio nas condições dadas;
  • Sugerir mudanças para aumentar o volume purificado, com justificativa numérica.
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
  • Espessura da chapa: L=6\\ \mathrm{mm}.
  • Área da chapa: A=0,25\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Temperatura: 600^\circ\mathrm{C} (usada apenas porque o coeficiente de difusão foi dado a essa temperatura).
  • Coeficiente de difusão: D=1,7\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.
  • Concentrações nos dois lados (regime estacionário): lado quente/alto = C_1=2,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, lado frio/baixo = C_2=0,4\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
O que vamos calcular: massa de hidrogênio que atravessa a chapa por hora (unidade final em \mathrm{kg}/\mathrm{h} e também em \mathrm{g}/\mathrm{h} para intuição).
As sugestões para melhorar o resultado devem conter números (estimativas de quanto a vazão aumenta).

Passo 2

Qual a lei física que usamos e por quê (explicação didática)?
  • Em regime estacionário e supondo que a concentração varia linearmente através da espessura da chapa, a difusão unidimensional é descrita pela Primeira Lei de Fick:
J = -D\,\frac{dC}{dx},
onde:
  • J é o fluxo de massa por área ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{s});
  • D é o coeficiente de difusão ( \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s});
  • C é a concentração ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3});
  • x é a coordenada na direção da espessura ( \mathrm{m}).
  • Para regime estacionário com gradiente aproximadamente linear entre as duas faces ( x=0 e x=L), a derivada \dfrac{dC}{dx} é aproximada por \dfrac{C_2-C_1}{L}. Assim, tomando a direção do fluxo do lado de maior concentração para o menor, obtemos:
J = D\,\frac{C_1-C_2}{L}.
  • A massa que atravessa por segundo (vazão mássica) é \dot{m}=J\cdot A. Para obter por hora multiplicamos por 3600.
Explicando em palavras: a vazão é proporcional a D, proporcional à diferença de concentração (C_1-C_2), proporcional à área A e inversamente proporcional à espessura L. Essa relação é linear e simples — ótima para estimativas rápidas na prova.

Passo 3

Converter unidades e colocar os valores nas fórmulas:
  • Converter L para metros:
L = 6\\ \mathrm{mm} = 0,006\\ \mathrm{m}.
  • Valores:
D=1,7\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s},\qquad C_1=2,0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3},\qquad C_2=0,4\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3},
A=0,25\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Calcular o fluxo mássico por área J usando Fick:
J = D\,\frac{C_1-C_2}{L} = 1{,}7\times10^{-8}\\ \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{s}}\times \frac{2{,}0-0{,}4}{0{,}006}\\ \frac{\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{m}}.
Calcule a diferença de concentração:
C_1-C_2 = 2{,}0-0{,}4 = 1{,}6\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
Agora o numerador:
D\,(C_1-C_2)=1{,}7\times10^{-8}\times1{,}6 = 2{,}72\times10^{-8}.
Dividindo por L=0{,}006:
J = \frac{2{,}72\times10^{-8}}{0{,}006} = 4{,}533333\ldots\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{s}.

Passo 5

Vazão mássica total ( \dot{m}) e conversão para por hora:
\dot{m} = J\cdot A = 4{,}533333\times10^{-6}\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{2}\mathrm{s}}\times0{,}25\\ \mathrm{m}^{2} =1{,}1333333\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
Passando para por hora ( 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}):
\dot{m}_{\text{h}}=\dot{m}\times3600 =1{,}1333333\times10^{-6}\times3600 =4{,}08\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
Em gramas por hora:
4{,}08\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}=4{,}08\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}.

Passo 6

Interpretação do resultado e verificação rápida de unidades:
  • Resultado: aproximadamente 0{,}00408\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h} (ou 4{,}08\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}).
  • Verificação de unidades: D em \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} vezes \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} dividido por \mathrm{m} \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{s} (fluxo por área); multiplicando por \mathrm{m}^{2} \mathrm{kg}/\mathrm{s} e por 3600 \mathrm{kg}/\mathrm{h}. Tudo consistente.
Comentário amigável: sim, é um número pequeno — só cerca de 4\\ \mathrm{g} por hora com a chapa e condições dadas.

Passo 7

Sugestões práticas para melhorar (aqui dou alternativas, cada uma com justificativa numérica usando a mesma relação \dot{m}\propto A\,D\,(C_1-C_2)/L ):
  1. Diminuir a espessura L.
    • Como \dot{m}\propto 1/L, reduzir L aumenta a vazão na mesma proporção.
    • Exemplo numérico: reduzir para L=1\\ \mathrm{mm}=0{,}001\\ \mathrm{m} (fator 0{,}006/0{,}001=6):
\dot{m}_{\text{h,new}}=0{,}00408\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}\times6=0{,}02448\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}=24{,}48\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}.
  • Justificativa prática: placas mais finas reduzem resistência à difusão; porém é preciso cuidar da resistência mecânica e da permeabilidade seletiva.
  1. Aumentar a área A.
    • Como \dot{m}\propto A, aumentar área aumenta proporcionalmente.
    • Exemplo: aumentar para A=1{,}0\\ \mathrm{m}^{2} (fator 1{,}0/0{,}25=4):
\dot{m}_{\text{h,new}}=0{,}00408\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}\times4=0{,}01632\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}=16{,}32\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}.
  1. Combinar área maior com chapa mais fina (altamente eficaz).
    • Usando ao mesmo tempo A=1{,}0\\ \mathrm{m}^{2} e L=1\\ \mathrm{mm}: fator combinado 4\times6=24:
\dot{m}_{\text{h,new}}=0{,}00408\times24=0{,}09792\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}\approx97{,}92\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}.
  • Ou seja, com essas alterações razoáveis passa-se de \approx4{,}1\\ \mathrm{g}/\mathrm{h} para \approx98\\ \mathrm{g}/\mathrm{h} — um aumento grande e mensurável.
  1. Aumentar a diferença de concentração (C_1-C_2) (por exemplo aumentar C_1 ou reduzir C_2).
    • \dot{m} é proporcional a (C_1-C_2). Dobrar (C_1-C_2) dobra a vazão.
    • Ex.: se C_1 passar de 2{,}0 para 4{,}0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} mantendo C_2 igual, a vazão dobra para \approx0{,}00816\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}.
  2. Aumentar o coeficiente de difusão D (por exemplo, operar a uma temperatura maior, usar ligas/permeadores com maior D ou processos catalíticos).
    • \dot{m}\propto D. Se for possível dobrar D, dobra-se a vazão.
    • Observação: D costuma crescer com a temperatura segundo uma lei do tipo Arrhenius, mas para quantificar é preciso conhecer a energia de ativação; sem esse dado não se pode dar um número preciso — contudo, a proporcionalidade é direta.
  3. Usar várias chapas em paralelo (aumenta efetivamente A sem aumentar a dimensão de cada chapa).
    • Por exemplo, 10 chapas idênticas em paralelo aumentam \dot{m} em 10 vezes.
  4. Projetos alternativos: membranas mais porosas/estruturadas ou aumentar a permeabilidade efetiva (aumenta D ou a área efetiva). Essas soluções podem ser mais complexas, mas são frequentemente usadas industrialmente.

Passo 8

Recomendação prática (considerando custo/benefício): a combinação de reduzir a espessura para valores industriais aceitáveis (ex.: 1 mm) com aumento moderado da área (por exemplo para 1{,}0\\ \mathrm{m}^{2} ou montagem em paralelo) dá o maior ganho por investimento relativamente baixo e é fácil de quantificar (como mostrei: chega a \approx0{,}098\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}). Se for possível também aumentar a diferença de concentração (por ex. pré-compressão ou pré-aquecimento do lado de entrada, ou retirada eficiente do lado de saída para manter C_2 baixo), a vazão melhora linearmente.
Força final: escolha a(s) alteração(ões) conforme restrições mecânicas e econômicas — a fórmula simples que usamos mostra claramente o efeito de cada mudança, então fica fácil estimar custos versus ganho.

Resposta

0{,}00408\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h} \;=\;4{,}08\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}
Sugestão com justificativa numérica: reduzir L para 1\\ \mathrm{mm} e aumentar A para 1{,}0\\ \mathrm{m}^{2} — estimativa resultante \approx0{,}09792\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h} ( \approx97{,}92\\ \mathrm{g}/\mathrm{h}).

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