Questão 01: Sejam
, tais que
. Prove que
ou
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são números inteiros e que
A tarefa é provar que
ou
. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
- Dados:
, e . - Pedir: mostrar que pelo menos um entre
e é zero (na verdade veremos que os dois são zero).
Passo 2
Lema útil (explicado devagar): para qualquer inteiro
vale
.
Explicação e prova do lema:
Explicação e prova do lema:
- Se
então , OK. - Se
então é positivo e o produto de dois números positivos é positivo, logo . - Se
então e . Como , segue que .
Portanto, em todos os casos. Essa é uma propriedade básica dos inteiros: o quadrado de um inteiro nunca é negativo.
Passo 3
Observação reforçando: se
então
(valor absoluto de um inteiro não nulo é pelo menos
), daí
Ou seja, para inteiros não nulos o quadrado é pelo menos
(é um inteiro positivo).
Passo 4
Aplicando o lema a
e
: temos
e
. A soma de dois números não negativos só pode ser zero se os dois forem zero. Formalizando: se
,
e
, então necessariamente
e
(porque se um deles fosse estritamente positivo, a soma seria estritamente positiva).
Agora usemos isso no nosso caso: como ,
e
, segue que
Agora usemos isso no nosso caso: como
Pelo Passo 3, o único inteiro cujo quadrado é
é
mesmo. Logo
Passo 5
Comentário alternativo (por contraste/contradição, para fixar a ideia): suponha, por contradição, que
ou
. Então pelo menos um quadrado seria
, portanto
, contradizendo
. Assim a suposição é falsa e ambos os inteiros devem ser zero.