Questão 01: Sejam a, b \in \mathbb{Z}, tais que a \cdot a+b \cdot b=0. Prove que a=0 ou b=0.

Passo 1

O enunciado dá que a e b são números inteiros e que
a\cdot a + b\cdot b = 0.
A tarefa é provar que a=0 ou b=0. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • Dados: a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Z} e \;a^2 + b^2 = 0.
  • Pedir: mostrar que pelo menos um entre a e b é zero (na verdade veremos que os dois são zero).

Passo 2

Lema útil (explicado devagar): para qualquer inteiro n vale \;n^2\ge 0.
Explicação e prova do lema:
  • Se n=0 então n^2=0, OK.
  • Se n>0 então n é positivo e o produto de dois números positivos é positivo, logo n^2>0.
  • Se n<0 então -n>0 e (-n)^2 = n^2. Como (-n)^2>0, segue que n^2>0.
    Portanto, em todos os casos n^2\ge 0. Essa é uma propriedade básica dos inteiros: o quadrado de um inteiro nunca é negativo.

Passo 3

Observação reforçando: se n\neq 0 então |n|\ge 1 (valor absoluto de um inteiro não nulo é pelo menos 1), daí
n^2 = |n|^2 \ge 1^2 = 1.
Ou seja, para inteiros não nulos o quadrado é pelo menos 1 (é um inteiro positivo).

Passo 4

Aplicando o lema a a e b: temos \;a^2\ge 0 e \;b^2\ge 0. A soma de dois números não negativos só pode ser zero se os dois forem zero. Formalizando: se x\ge0, y\ge0 e x+y=0, então necessariamente x=0 e y=0 (porque se um deles fosse estritamente positivo, a soma seria estritamente positiva).
Agora usemos isso no nosso caso: como a^2\ge0, b^2\ge0 e a^2+b^2=0, segue que
a^2 = 0 \quad\text{e}\quad b^2 = 0.
Pelo Passo 3, o único inteiro cujo quadrado é 0 é 0 mesmo. Logo
a=0 \quad\text{e}\quad b=0.

Passo 5

Comentário alternativo (por contraste/contradição, para fixar a ideia): suponha, por contradição, que a\neq0 ou b\neq0. Então pelo menos um quadrado seria \ge1, portanto a^2+b^2\ge1, contradizendo a^2+b^2=0. Assim a suposição é falsa e ambos os inteiros devem ser zero.

Resposta

a=0 e b=0