Questão 01. Sejam os vetores vec{u}=(8,0,6), \vec{v}=(-3,4,12). Determine:
\vec{u} \cdot \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3 e pede o produto escalar entre eles. Informação fornecida:
  • \vec{u}=(8,0,6).
  • \vec{v}=(-3,4,12).
O que se pede: calcular \vec{u}\cdot\vec{v}.

Passo 2

Definição e fórmula do produto escalar (dot product) para vetores em \mathbb{R}^3.
Se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então o produto escalar é dado por
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Explicando: u_1,u_2,u_3 são as componentes do vetor \vec{u} nas direções x,y,z; v_1,v_2,v_3 são as componentes do vetor \vec{v}. Calcula-se o produto componente a componente e soma-se os resultados. Geometricamente, também vale a fórmula
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta,
onde \|\vec{u}\| é o comprimento (norma) de \vec{u}, \|\vec{v}\| é a norma de \vec{v} e \theta é o ângulo entre eles. Não é preciso usar essa forma aqui, só é útil para interpretar o sinal do produto escalar (positivo → ângulo agudo, zero → ortogonais, negativo → ângulo obtuso).

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores dados conforme a fórmula:
  • Para \vec{u}=(8,0,6) tem-se u_1=8, u_2=0, u_3=6.
  • Para \vec{v}=(-3,4,12) tem-se v_1=-3, v_2=4, v_3=12.
Então aplicamos a fórmula
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.

Passo 4

Calcular cada termo componente a componente:
u_1v_1 = 8\cdot(-3) = -24,
u_2v_2 = 0\cdot 4 = 0,
u_3v_3 = 6\cdot 12 = 72.

Passo 5

Somar os termos obtidos:
\vec{u}\cdot\vec{v} = -24 + 0 + 72 = 48.
Interpretação rápida e motivadora: o resultado é positivo, logo o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é agudo ( \cos\theta>0). Boa! Você conseguiu — é só multiplicar componente a componente e somar.

Resposta

\vec{u}\cdot\vec{v}=48