Questăo 02) (3,0) Determine as tensóes principais de um ponto no estado plano se
e
MPa. Determine a orientação do elemento.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine as tensões principais num ponto em estado plano e a orientação do elemento, dados os seguintes valores:
,
e
.
Lista de informações relevantes extraídas do enunciado:
,
,
.
As perguntas são: (1) quais são as tensões principais e
? e (2) qual a orientação do elemento (ângulo
das direções principais)?
Lista de informações relevantes extraídas do enunciado:
As perguntas são: (1) quais são as tensões principais
Passo 2
Vou apresentar a fórmula que usamos para achar as tensões principais e explicar o que cada termo significa.
Para um estado plano de tensões com componentes
, as tensões principais
e
são as raízes do polinômio característico (autovalores da matriz de tensões 2×2). O resultado fechado é:
Explicando cada símbolo:
-
e são as tensões normais nas direções e (aqui dadas). -
é a tensão de cisalhamento (aqui dada). - A média
é o valor médio das tensões normais. - A raiz quadrada é o termo que dá o desvio em relação à média — chama-se raio de Mohr (metaforicamente, o “tamanho” da distorção).
Para a orientação das direções principais (ângulo
entre o eixo
e a direção da tensão principal
) usamos a relação
Isso vem da condição de que na direção principal o cisalhamento é zero; uma dedução curta vem impondo
ao transformar as componentes por rotação. Note que há duas direções principais ortogonais:
e
.
Passo 3
Calculo a média das tensões (primeiro termo da fórmula):
Calculo a meia-diferença (usada dentro da raiz):
Passo 4
Calculo o termo dentro da raiz (o quadrado do raio) e depois a raiz:
Agora a raiz:
(Essa aproximação foi feita por cálculo direto da raiz; para a prova basta usar uma calculadora ou estimar pelo método da aproximação squaring — o importante é obter o valor do raio
.)
Passo 5
Agora obtenho as tensões principais usando
média
raio:
Interpretação rápida:
é a maior tensão normal (tração se positiva),
é a menor (compressão se negativa).
Passo 6
Calculo a orientação
. Primeiro calcule
:
Então
portanto
Observação importante: há duas direções principais perpendiculares; assim as direções são
e
. A convenção usada aqui é que
é o ângulo a rodar, no sentido positivo (convencionalmente anti-horário), do eixo
(direção de
) até a direção onde atua
.
Resposta
Orientação das direções principais: