Questăo 02) (3,0) Determine as tensóes principais de um ponto no estado plano se \sigma_{\mathrm{s}}=200 \mathrm{MPa}, \sigma_{\gamma}=-320 \mathrm{MPa} e \tau_{\mathrm{tr}}=78 MPa. Determine a orientação do elemento.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine as tensões principais num ponto em estado plano e a orientação do elemento, dados os seguintes valores:
\sigma_{\mathrm{s}}=200\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{\gamma}=-320\\ \mathrm{MPa} e \tau_{\mathrm{tr}}=78\\ \mathrm{MPa}.
Lista de informações relevantes extraídas do enunciado:
\sigma_x=\sigma_{\mathrm{s}}=200\\ \mathrm{MPa},
\sigma_y=\sigma_{\gamma}=-320\\ \mathrm{MPa},
\tau_{xy}=\tau_{\mathrm{tr}}=78\\ \mathrm{MPa}.
As perguntas são: (1) quais são as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2? e (2) qual a orientação do elemento (ângulo \varphi das direções principais)?

Passo 2

Vou apresentar a fórmula que usamos para achar as tensões principais e explicar o que cada termo significa.
Para um estado plano de tensões com componentes \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}, as tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} são as raízes do polinômio característico (autovalores da matriz de tensões 2×2). O resultado fechado é:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
Explicando cada símbolo:
  • \sigma_x e \sigma_y são as tensões normais nas direções x e y (aqui dadas).
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento (aqui dada).
  • A média \dfrac{\sigma_x+\sigma_y}{2} é o valor médio das tensões normais.
  • A raiz quadrada é o termo que dá o desvio em relação à média — chama-se raio de Mohr (metaforicamente, o “tamanho” da distorção).
Para a orientação das direções principais (ângulo \varphi entre o eixo x e a direção da tensão principal \sigma_1) usamos a relação
\tan(2\varphi)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
Isso vem da condição de que na direção principal o cisalhamento é zero; uma dedução curta vem impondo \tau'_{xy}=0 ao transformar as componentes por rotação. Note que há duas direções principais ortogonais: \varphi e \varphi+90^\circ.

Passo 3

Calculo a média das tensões (primeiro termo da fórmula):
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{200+(-320)}{2}=\frac{-120}{2}=-60\\ \mathrm{MPa}.
Calculo a meia-diferença (usada dentro da raiz):
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{200-(-320)}{2}=\frac{520}{2}=260\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Calculo o termo dentro da raiz (o quadrado do raio) e depois a raiz:
\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2=260^2+78^2=67600+6084=73684\\ (\mathrm{MPa}^2).
Agora a raiz:
\sqrt{73684}\approx 271,45\\ \mathrm{MPa}.
(Essa aproximação foi feita por cálculo direto da raiz; para a prova basta usar uma calculadora ou estimar pelo método da aproximação squaring — o importante é obter o valor do raio R\approx271,45\\ \mathrm{MPa}.)

Passo 5

Agora obtenho as tensões principais usando \sigma_{1,2}= média \pm raio:
\sigma_1=-60+271,45=211,45\\ \mathrm{MPa},
\sigma_2=-60-271,45=-331,45\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação rápida: \sigma_1 é a maior tensão normal (tração se positiva), \sigma_2 é a menor (compressão se negativa).

Passo 6

Calculo a orientação \varphi. Primeiro calcule \tan(2\varphi):
\tan(2\varphi)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}=\frac{2\cdot78}{200-(-320)}=\frac{156}{520}=0,3.
Então
2\varphi=\arctan(0,3)\approx16,699^\circ,
portanto
\varphi=\frac{1}{2}\cdot16,699^\circ\approx8,35^\circ.
Observação importante: há duas direções principais perpendiculares; assim as direções são \varphi\approx8,35^\circ e \varphi+90^\circ\approx98,35^\circ. A convenção usada aqui é que \varphi é o ângulo a rodar, no sentido positivo (convencionalmente anti-horário), do eixo x (direção de \sigma_x) até a direção onde atua \sigma_1.

Resposta

\sigma_1\approx211,45\\ \mathrm{MPa}
\sigma_2\approx-331,45\\ \mathrm{MPa}
Orientação das direções principais: \varphi\approx8,35^\circ (ou \varphi+90^\circ\approx98,35^\circ).

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