Um tubo descarrega uma vazão
em um reservatório
, de onde passa ao reservatório
por um bocal de bordos arredondados e finalmente escoa para a atmosfera por um bocal cilíndrico externo.
a) Depois de o sistema entrar em equilibrio, determine a diferença de nível entre os reservatórios
e
e a vazão
.
Dados: bocal de bordos arredondados
e
; bocal cilíndrico externo:
e
.
b) O que acontecerá com
se mudarmos o bocal cilíndrico externo por um bocal com um
maior?
a) Depois de o sistema entrar em equilibrio, determine a diferença de nível entre os reservatórios
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, e dá alguns dados fáceis de listar. Perguntas:
- Depois do sistema em equilíbrio, determinar a diferença de nível entre os reservatórios
e (vou chamar essa diferença de ). - Determinar a vazão
em regime estacionário (quando o sistema está em equilíbrio).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Observações importantes que vêm do enunciado (sem resolver ainda): a superfície livre do reservatório
está a
acima da referência (da saída para a atmosfera), e o reservatório
terá uma superfície em altura
que vamos determinar. Em regime permanente a vazão que entra no reservatório
(o tubo que “descarrega
em
”) deve ser igual à vazão que sai por A→B e igual à vazão que sai de B→atmosfera; portanto todas essas vazões valem a mesma
.
Passo 2
Modelo de escoamento e fórmula que usamos (a “aula” curta):
- Para um orifício ou bocal com perda concentrada, a expressão prática para a vazão é
onde:
-
é a vazão (em ); -
é o coeficiente de descarga (adimensional), que reúne efeitos de contração e perdas reais; -
é a área do orifício (em ); -
é a aceleração da gravidade ( ); -
é a diferença de carga (diferença de níveis de água) que impulsiona o escoamento (em ). - Essa fórmula vem da combinação de Torricelli (velocidade ideal
) com o coeficiente empírico que reduz a vazão real.
Aplicando ao nosso circuito:
- O escoamento de
para é provocado pela diferença de nível . Logo a vazão pelo bocal entre e é
- O escoamento de
para a atmosfera é provocado pela carga (considerando referência na saída), logo
- Em equilíbrio estacionário temos
. Essa igualdade será a equação que nos permite achar (e então e ).
Passo 3
Escrevendo a igualdade de vazões e simplificando a forma algebraica:
Como
e
podemos dividir ambos os lados por
para simplificar. Obtemos
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Agrupando os termos em
:
Isolando
:
Essa expressão é muito prática: ela dá diretamente a altura do reservatório
em função de
e dos coeficientes de descarga.
Passo 4
Substituir os valores numéricos para encontrar
. Primeiro calcule os quadrados dos
:
Somando:
Agora calcule
:
Fazendo a divisão obtemos (aproximação adequada para prova)
Passo 5
Agora a diferença de nível pedida
é
Arredondando com sentido prático para a prova, usamos
Passo 6
Calcular a vazão
. Podemos usar qualquer das fórmulas (A→B ou B→atm). Uso a vazão B→atm:
Substituindo números:
Então
Em unidades mais usuais:
Passo 7
Interpretação física e checagem final (curta e útil para prova):
- Em regime permanente a mesma vazão atravessa os dois bocais em série, por isso igualamos as expressões.
- Notar que com
a fórmula fechou de forma simples em termos de . - Cheque rápido: se
fosse muito pequeno (bocal muito restritivo) esperaríamos próximo de (nível em sobe); se fosse muito grande (bocal muito eficiente) esperaríamos pequeno (nível em baixa). Isso bate com a fórmula obtida.
Passo 8
Resposta qualitativa para a parte (b) do enunciado:
- Se trocarmos o bocal cilíndrico externo por outro com
maior, então aumenta e no denominador de
o valor total aumenta, logo
diminui. Assim
aumenta. Em palavras: aumentar
deixa o bocal mais “eficiente”, exige menos carga em
para passar a mesma vazão, então o nível em
cai e a diferença de níveis
aumenta. Limites úteis: se
então
(fechado a jusante); se
então
e
.
Resposta
b) Ao aumentar