Um tubo descarrega uma vazão Q em um reservatório A, de onde passa ao reservatório B por um bocal de bordos arredondados e finalmente escoa para a atmosfera por um bocal cilíndrico externo.
a) Depois de o sistema entrar em equilibrio, determine a diferença de nível entre os reservatórios A e B e a vazão Q.
Dados: bocal de bordos arredondados =\mathrm{A}=0,001 \mathrm{~m}^{2} e \mathrm{C}_{\mathrm{d}}=0,98; bocal cilíndrico externo: \mathrm{A}=0,001 \mathrm{~m}^{2} e \mathrm{C}_{\mathrm{d}}=0,82.
\mathrm{H}_{\mathrm{a}}=0,50 \mathrm{~m}
b) O que acontecerá com \Delta \mathrm{h} se mudarmos o bocal cilíndrico externo por um bocal com um \mathrm{C}_{\mathrm{d}} maior?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, e dá alguns dados fáceis de listar. Perguntas:
  1. Depois do sistema em equilíbrio, determinar a diferença de nível entre os reservatórios A e B (vou chamar essa diferença de \Delta h).
  2. Determinar a vazão Q em regime estacionário (quando o sistema está em equilíbrio).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\text{bocal de bordos arredondados (entre A e B): } A_1=0{,}001\\ \mathrm{m^2},\\ C_{d1}=0{,}98
\text{bocal cilíndrico externo (de B para a atmosfera): } A_2=0{,}001\\ \mathrm{m^2},\\ C_{d2}=0{,}82í
H_a=0{,}50\\ \mathrm{m}
Observações importantes que vêm do enunciado (sem resolver ainda): a superfície livre do reservatório A está a \,H_a=0{,}50\\ \mathrm{m} acima da referência (da saída para a atmosfera), e o reservatório B terá uma superfície em altura \,H_b que vamos determinar. Em regime permanente a vazão que entra no reservatório A (o tubo que “descarrega Q em A”) deve ser igual à vazão que sai por A→B e igual à vazão que sai de B→atmosfera; portanto todas essas vazões valem a mesma Q.

Passo 2

Modelo de escoamento e fórmula que usamos (a “aula” curta):
  • Para um orifício ou bocal com perda concentrada, a expressão prática para a vazão é
Q = C_d \, A \, \sqrt{2 g \, h}
onde:
  • Q é a vazão (em \mathrm{m^3/s});
  • C_d é o coeficiente de descarga (adimensional), que reúne efeitos de contração e perdas reais;
  • A é a área do orifício (em \mathrm{m^2});
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2});
  • h é a diferença de carga (diferença de níveis de água) que impulsiona o escoamento (em \mathrm{m}).
  • Essa fórmula vem da combinação de Torricelli (velocidade ideal v=\sqrt{2gh}) com o coeficiente empírico C_d que reduz a vazão real.
Aplicando ao nosso circuito:
  • O escoamento de A para B é provocado pela diferença de nível \,H_a-H_b. Logo a vazão pelo bocal entre A e B é
Q_1 = C_{d1}\,A_1\,\sqrt{2g\,(H_a-H_b)}.
  • O escoamento de B para a atmosfera é provocado pela carga H_b (considerando referência na saída), logo
Q_2 = C_{d2}\,A_2\,\sqrt{2g\,H_b}.
  • Em equilíbrio estacionário temos Q=Q_1=Q_2. Essa igualdade será a equação que nos permite achar H_b (e então \Delta h=H_a-H_b e Q).

Passo 3

Escrevendo a igualdade de vazões e simplificando a forma algebraica:
C_{d1}\,A_1\,\sqrt{2g\,(H_a-H_b)} \;=\; C_{d2}\,A_2\,\sqrt{2g\,H_b}.
Como A_1=A_2 e 2g>0 podemos dividir ambos os lados por A_1\sqrt{2g} para simplificar. Obtemos
C_{d1}\,\sqrt{H_a-H_b} \;=\; C_{d2}\,\sqrt{H_b}.
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
C_{d1}^2\,(H_a-H_b) \;=\; C_{d2}^2\,H_b.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
C_{d1}^2\,H_a - C_{d1}^2\,H_b \;=\; C_{d2}^2\,H_b.
Agrupando os termos em H_b:
C_{d1}^2\,H_a \;=\; (C_{d1}^2 + C_{d2}^2)\,H_b.
Isolando H_b:
H_b \;=\; \frac{C_{d1}^2\,H_a}{C_{d1}^2 + C_{d2}^2}.
Essa expressão é muito prática: ela dá diretamente a altura do reservatório B em função de H_a e dos coeficientes de descarga.

Passo 4

Substituir os valores numéricos para encontrar H_b. Primeiro calcule os quadrados dos C_d:
C_{d1}^2 = (0{,}98)^2 = 0{,}9604,
C_{d2}^2 = (0{,}82)^2 = 0{,}6724.
Somando:
C_{d1}^2 + C_{d2}^2 = 0{,}9604 + 0{,}6724 = 1{,}6328.
Agora calcule H_b:
H_b = \frac{0{,}9604 \times 0{,}50}{1{,}6328} = \frac{0{,}4802}{1{,}6328}.
Fazendo a divisão obtemos (aproximação adequada para prova)
H_b \approx 0{,}29415\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora a diferença de nível pedida \Delta h é
\Delta h = H_a - H_b = 0{,}50 - 0{,}29415 = 0{,}20585\\ \mathrm{m}.
Arredondando com sentido prático para a prova, usamos
\Delta h \approx 0{,}206\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a vazão Q. Podemos usar qualquer das fórmulas (A→B ou B→atm). Uso a vazão B→atm:
Q = C_{d2}\,A_2\,\sqrt{2g\,H_b}.
Substituindo números:
2gH_b = 2 \times 9{,}81 \times 0{,}29415 \approx 5{,}77112\quad(\mathrm{m^2/s^2}).
\sqrt{2gH_b} \approx \sqrt{5{,}77112}\approx 2{,}4013\\ \mathrm{m/s}.
Então
Q = 0{,}82 \times 0{,}001 \times 2{,}4013 \approx 0{,}001969\\ \mathrm{m^3/s}.
Em unidades mais usuais:
Q \approx 1{,}97\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} = 1{,}97\\ \mathrm{L/s}.

Passo 7

Interpretação física e checagem final (curta e útil para prova):
  • Em regime permanente a mesma vazão atravessa os dois bocais em série, por isso igualamos as expressões.
  • Notar que com A_1=A_2 a fórmula fechou de forma simples em termos de C_d^2.
  • Cheque rápido: se C_{d2} fosse muito pequeno (bocal muito restritivo) esperaríamos H_b próximo de H_a (nível em B sobe); se C_{d2} fosse muito grande (bocal muito eficiente) esperaríamos H_b pequeno (nível em B baixa). Isso bate com a fórmula obtida.

Passo 8

Resposta qualitativa para a parte (b) do enunciado:
  • Se trocarmos o bocal cilíndrico externo por outro com C_{d2} maior, então C_{d2}^2 aumenta e no denominador de
H_b = \frac{C_{d1}^2 H_a}{C_{d1}^2 + C_{d2}^2}
o valor total aumenta, logo H_b diminui. Assim \Delta h = H_a - H_b aumenta. Em palavras: aumentar C_{d2} deixa o bocal mais “eficiente”, exige menos carga em B para passar a mesma vazão, então o nível em B cai e a diferença de níveis A-B aumenta. Limites úteis: se C_{d2}\to 0 então H_b\to H_a (fechado a jusante); se C_{d2}\to\infty então H_b\to 0 e \Delta h\to H_a.

Resposta

\displaystyle \Delta h = 0{,}20585\\ \mathrm{m}\\ (\approx 0{,}206\\ \mathrm{m})
\displaystyle Q = 1{,}969\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}\\ (\approx 1{,}97\\ \mathrm{L/s})
b) Ao aumentar C_{d} do bocal externo, \Delta h aumenta (o nível em B diminui).

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