Questão-02. Encontre uma base para cada subespaço vetorial S_{4}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M_{2 \times 2}(R) ; a=-d, c=2 b\right\})
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado nos dá o subespaço S_{4} de M_{2\times2}(\mathbb{R}) definido por
S_{4}=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) \; ;\; a=-d,\; c=2b\right\}.
O que se pede: encontrar uma base para S_{4}. Ou seja, encontrar um conjunto de matrizes que:
Gere todo S_{4} (qualquer elemento de S_{4} seja combinação linear delas);
Seja linearmente independente.
Passo 2
Vamos escrever uma matriz genérica de S_{4} usando as restrições dadas. Começo com a matriz genérica
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
e aplico as condições a=-d e c=2b. Substituindo, qualquer elemento de S_{4} tem a forma
\begin{pmatrix}-d & b \\\\ 2b & d\end{pmatrix}.
Aqui b e d aparecem livres — isto significa que podemos usar b e d como parâmetros (graus de liberdade) para descrever todos os elementos de S_{4}.
Passo 3
Agora vou reorganizar a matriz anterior para expressá‑la como combinação linear de matrizes fixas multiplicadas pelos parâmetros b e d. Separe os termos que dependem de b e os que dependem de d:
Portanto a condição de gerar o subespaço está satisfeita.]
Passo 5
Agora preciso mostrar que as duas matrizes em \mathcal{B} são linearmente independentes. Suponha que existam escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
Portanto \alpha=\beta=0, o que prova que as matrizes são linearmente independentes.]
Passo 6
Concluímos que \mathcal{B} é um conjunto que gera S_{4} e é linearmente independente; logo é uma base de S_{4}. Como tem duas matrizes, a dimensão de S_{4} é 2.
Observação amigável: poderia ter escolhido outros pares de matrizes equivalentes (por exemplo multiplicando por -1 uma delas), mas qualquer base válida terá exatamente duas matrizes e acontecerá de poder parametrizar as entradas por dois parâmetros independentes (aqui b e d).