Questão-02. Encontre uma base para cada subespaço vetorial
S_{4}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M_{2 \times 2}(R) ; a=-d, c=2 b\right\})

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado nos dá o subespaço S_{4} de M_{2\times2}(\mathbb{R}) definido por
S_{4}=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) \; ;\; a=-d,\; c=2b\right\}.
  • O que se pede: encontrar uma base para S_{4}. Ou seja, encontrar um conjunto de matrizes que:
    1. Gere todo S_{4} (qualquer elemento de S_{4} seja combinação linear delas);
    2. Seja linearmente independente.

Passo 2

Vamos escrever uma matriz genérica de S_{4} usando as restrições dadas. Começo com a matriz genérica
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
e aplico as condições a=-d e c=2b. Substituindo, qualquer elemento de S_{4} tem a forma
\begin{pmatrix}-d & b \\\\ 2b & d\end{pmatrix}.
Aqui b e d aparecem livres — isto significa que podemos usar b e d como parâmetros (graus de liberdade) para descrever todos os elementos de S_{4}.

Passo 3

Agora vou reorganizar a matriz anterior para expressá‑la como combinação linear de matrizes fixas multiplicadas pelos parâmetros b e d. Separe os termos que dependem de b e os que dependem de d:
\begin{pmatrix}-d & b \\\\ 2b & d\end{pmatrix} = b\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Esse passo é só fatorar b e d das posições correspondentes.]

Passo 4

Da equação acima segue imediatamente que o conjunto
\mathcal{B}=\left\{\,\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\,\right\}
gera S_{4}: dado qualquer elemento de S_{4} com parâmetros b,d, ele é exatamente
b\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto a condição de gerar o subespaço está satisfeita.]

Passo 5

Agora preciso mostrar que as duas matrizes em \mathcal{B} são linearmente independentes. Suponha que existam escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Comparando entradas correspondentes obtemos um sistema de equações:
  • entrada (1,1): 0\cdot\alpha + (-1)\cdot\beta = 0 \Rightarrow -\beta=0 \Rightarrow \beta=0.
  • entrada (1,2): 1\cdot\alpha + 0\cdot\beta = 0 \Rightarrow \alpha=0.
Portanto \alpha=\beta=0, o que prova que as matrizes são linearmente independentes.]

Passo 6

Concluímos que \mathcal{B} é um conjunto que gera S_{4} e é linearmente independente; logo é uma base de S_{4}. Como tem duas matrizes, a dimensão de S_{4} é 2.
Observação amigável: poderia ter escolhido outros pares de matrizes equivalentes (por exemplo multiplicando por -1 uma delas), mas qualquer base válida terá exatamente duas matrizes e acontecerá de poder parametrizar as entradas por dois parâmetros independentes (aqui b e d).

Resposta

\left\{\,\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\,\right\}]