Questão-02. Encontre uma base para cada subespaço vetorial
)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
.
O que ele pede: encontrar uma base para o subespaço .
Informações relevantes fornecidas:
O que ele pede: encontrar uma base para o subespaço
Informações relevantes fornecidas:
- Qualquer polinômio em
tem a forma com . - Temos dois parâmetros livres
e .
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever um elemento genérico de forma que fique claro o espaço gerado por vetores candidatos. Note que
Aqui usei a propriedade distributiva da multiplicação em polinômios para separar os termos com
e com
.
Passo 3
Explicando o que vamos testar (rápida aula): uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que (i) gera o subespaço (ou seja, todo vetor do subespaço é combinação linear deles) e (ii) é linearmente independente (nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros). Se acharmos dois vetores que satisfazem (i) e (ii), então eles formam uma base. Aqui, como a expressão do passo anterior mostra combinações com
e
, bons candidatos são os polinômios
e
.
Passo 4
Mostrar que os candidatos geram
(span). A partir da reescrita, qualquer elemento de
é exatamente
com
. Isso significa que
Portanto os dois candidatos geram todo
.
Passo 5
Mostrar que os candidatos são linearmente independentes (aula curtinha sobre independência). Seja uma combinação linear que dê o polinômio nulo:
onde
. Escrevendo por coeficiente de cada potência de
:
- coeficiente de
: ; - coeficiente de
: (mesma equação, confirma); - coeficiente constante:
.
Daí
e
. Como a única combinação linear que dá zero é a combinação trivial, os vetores
e
são linearmente independentes.
Passo 6
Concluindo: os polinômios
e
geram
e são linearmente independentes. Logo eles formam uma base de
. Como temos dois vetores na base, a dimensão de
é
.
Passo 7
Exemplo prático (para você treinar na prova): dado
e
, o polinômio
pode ser escrito como
Na hora da prova, se pedirem coordenadas desse vetor relativa à base
, são simplesmente
.