Questão-02. Encontre uma base para cada subespaço vetorial
S_{5}=\left\{a t^{2}+a t+b ; a, b \in R\right\})

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
S_{5}=\left\{a t^{2}+a t+b \mid a, b \in \mathbb{R}\right\}.
O que ele pede: encontrar uma base para o subespaço S_{5}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Qualquer polinômio em S_{5} tem a forma a t^{2}+a t+b com a,b\in\mathbb{R}.
  • Temos dois parâmetros livres a e b.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever um elemento genérico de forma que fique claro o espaço gerado por vetores candidatos. Note que
a t^{2}+a t+b = a\,(t^{2}+t) + b\,(1).
Aqui usei a propriedade distributiva da multiplicação em polinômios para separar os termos com a e com b.

Passo 3

Explicando o que vamos testar (rápida aula): uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que (i) gera o subespaço (ou seja, todo vetor do subespaço é combinação linear deles) e (ii) é linearmente independente (nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros). Se acharmos dois vetores que satisfazem (i) e (ii), então eles formam uma base. Aqui, como a expressão do passo anterior mostra combinações com a e b, bons candidatos são os polinômios t^{2}+t e 1.

Passo 4

Mostrar que os candidatos geram S_{5} (span). A partir da reescrita, qualquer elemento de S_{5} é exatamente
a\,(t^{2}+t)+b\,(1)
com a,b\in\mathbb{R}. Isso significa que
S_{5}=\operatorname{span}\{\,t^{2}+t,\;1\,\}.
Portanto os dois candidatos geram todo S_{5}.

Passo 5

Mostrar que os candidatos são linearmente independentes (aula curtinha sobre independência). Seja uma combinação linear que dê o polinômio nulo:
c_{1}\,(t^{2}+t) + c_{2}\,(1) = 0 \quad\text{(o polinômio zero)},ô
onde c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}. Escrevendo por coeficiente de cada potência de t:
  • coeficiente de t^{2}: c_{1}=0;
  • coeficiente de t: c_{1}=0 (mesma equação, confirma);
  • coeficiente constante: c_{2}=0.
Daí c_{1}=0 e c_{2}=0. Como a única combinação linear que dá zero é a combinação trivial, os vetores t^{2}+t e 1 são linearmente independentes.

Passo 6

Concluindo: os polinômios \,t^{2}+t e \,1 geram S_{5} e são linearmente independentes. Logo eles formam uma base de S_{5}. Como temos dois vetores na base, a dimensão de S_{5} é 2.

Passo 7

Exemplo prático (para você treinar na prova): dado a=2 e b=3, o polinômio 2t^{2}+2t+3 pode ser escrito como
2\,(t^{2}+t) + 3\,(1).
Na hora da prova, se pedirem coordenadas desse vetor relativa à base \{t^{2}+t,\,1\}, são simplesmente (2,\,3).

Resposta

\{\,t^{2}+t,\;1\,\}