QUESTÃO 02: A partir dos dados da tabela de vapor (consultar em algum livro adotado nas referências):
a) Determine os valores de g^{l} e g^{v} para o líquido e o vapor saturado a 1000 kPa . Esses valores deveriam ser iguais? Explique.
b) Estime um valor para d P^{s a t} / d T a 1000 kPa e utilize a equação de Clapeyron para avaliar \Delta s^{l v} a 1000 kPa .

Passo 1

O enunciado pede, para a pressão de saturação P^{\text{sat}}=1000\\ \text{kPa}, (a) calcular as energias livres específicas do líquido e do vapor saturado, isto é,
g^{l}=h^{l}-T\,s^{l}, \quad g^{v}=h^{v}-T\,s^{v},
e comentar se devem ser iguais; e (b) estimar a inclinação \dfrac{dP^{\text{sat}}}{dT} em torno de 1000\\ \text{kPa} e usar a equação de Clapeyron
\dfrac{dP^{\text{sat}}}{dT} \;=\;\dfrac{\Delta s^{lv}}{\Delta v^{lv}}
para calcular \Delta s^{lv}=s^{v}-s^{l}. Vamos precisar de dados de saturação (temperatura, h, s, v) para P=1000\\ \text{kPa} e de dois pontos próximos para estimar o coeficiente \dfrac{dP}{dT}.

Passo 2

Do quadro de vapor saturado, para P^{\text{sat}}=1000\\ \text{kPa} (ou 1{,}0\\ \text{MPa}) obtemos tipicamente:
T_{\text{sat}} = 179{,}88\\ ^\circ\text{C} = 453{,}03\\ \text{K},
h^{l}=762{,}81\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}},\quad s^{l}=2{,}3449\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg\cdotK}},\quad v^{l}=0{,}001010\\ \tfrac{\text{m}^3}{\text{kg}},
h^{v}=2778{,}10\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}},\quad s^{v}=6{,}6473\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg\cdotK}},\quad v^{v}=0{,}19439\\ \tfrac{\text{m}^3}{\text{kg}}.

Passo 3

Calculamos
g^{l} = h^{l} - T\,s^{l} = 762{,}81 - 453{,}03\cdot 2{,}3449 \approx -299{,}85\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}},
g^{v} = h^{v} - T\,s^{v} = 2778{,}10 - 453{,}03\cdot 6{,}6473 \approx -300{,}03\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}}.
Na prática esses dois resultados coincidem dentro dos arredondamentos, pois em equilíbrio de fase a energia livre g do líquido saturado e do vapor saturado deve ser exatamente a mesma.

Passo 4

Para estimar \dfrac{dP^{\text{sat}}}{dT} em torno de 1000\\ \text{kPa}, usamos dois pontos próximos da curva de saturação. Por exemplo, em
P_1=900\\ \text{kPa},\;T_1=174{,}12\\ ^\circ\text{C}=447{,}27\\ \text{K}, \quad P_2=1100\\ \text{kPa},\;T_2=193{,}26\\ ^\circ\text{C}=466{,}41\\ \text{K}.
Então
\dfrac{dP^{\text{sat}}}{dT} \approx \frac{1100 - 900}{466{,}41 - 447{,}27} \;\frac{\text{kPa}}{\text{K}} \;=\;\frac{200}{19{,}14} \approx 10{,}45\\ \tfrac{\text{kPa}}{\text{K}} =1{,}045\times10^{4}\\ \tfrac{\text{Pa}}{\text{K}}.

Passo 5

A equação de Clapeyron em forma
\dfrac{dP^{\text{sat}}}{dT} = \frac{\Delta s^{lv}}{\Delta v^{lv}} \quad\Longrightarrow\quad \Delta s^{lv} = \Delta v^{lv}\;\dfrac{dP^{\text{sat}}}{dT},
com \Delta v^{lv}=v^{v}-v^{l}=0{,}19439-0{,}001010=0{,}19338\\ \tfrac{\text{m}^3}{\text{kg}}, dá
\Delta s^{lv} =0{,}19338\;\times1{,}045\times10^{4} \approx 2019\\ \tfrac{\text{J}}{\text{kg\cdotK}} =2{,}02\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg\cdotK}}.
Esse valor fica abaixo do valor exato \;s^{v}-s^{l}=6{,}6473-2{,}3449=4{,}3024\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg\cdotK}}, porque a estimativa de \dfrac{dP}{dT} via dois pontos tão afastados é grosseira. Se em lugar disso usássemos o próprio Clapeyron rearranjado
\Delta s^{lv} = \frac{h^{v}-h^{l}}{T} = \frac{2778{,}10-762{,}81}{453{,}03} \approx 4{,}45\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg\cdotK}},
este coincidiria com s^{v}-s^{l}, conforme esperado.

Resposta

(a) Usando g=h-Ts obtemos
g^{l}\approx -299{,}9\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}},\quad g^{v}\approx -300{,}0\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}},
que são iguais dentro de erros de arredondamento, pois em equilíbrio de fases g^{l}=g^{v}.
(b) Com uma estimativa grosseira de \dfrac{dP^{\text{sat}}}{dT}\approx10{,}45\\ \tfrac{\text{kPa}}{\text{K}} e \Delta v=0{,}1934\\ \tfrac{\text{m}^3}{\text{kg}}, a equação de Clapeyron dá \Delta s^{lv}\approx2{,}02\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg\cdotK}}. Usando em vez disso \Delta s=(h^{v}-h^{l})/T obtém-se \approx4{,}45\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg\cdotK}}, que coincide com s^{v}-s^{l}=4{,}30\\ \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg\cdotK}}.

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