Questão 02: Um sistema possui um ganho k em série com uma função de transferência, em malha aberta dada por
:
a) Verifique, por meio do método de Routh-Hurwitz, a faixa de valores de k que faz com que o sistema seja estável.
b) Também pelo método de Routh-Hurwitz, mostre qual o valor do ganho k que faz com que a resposta do sistema seja não amortecida. Calcule o valor dos polos dominantes para esse caso.
b) Também pelo método de Routh-Hurwitz, mostre qual o valor do ganho k que faz com que a resposta do sistema seja não amortecida. Calcule o valor dos polos dominantes para esse caso.
Passo 1
O enunciado dá que a função de malha aberta é
Pede-se:
- (a) Determinar, usando Routh–Hurwitz, a faixa de valores de
que torna o sistema em malha fechada estável. - (b) Pelo mesmo método, encontrar o valor de
que faz a resposta ser não amortecida (ou seja, que leva a oscilações sustentadas / polos sobre o eixo imaginário) e calcular os polos dominantes nesse caso.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
e assume-se o fechamento em unidade de realimentação (padrão quando não indicado), portanto a equação característica será
.
Passo 2
Vamos obter a equação característica do sistema em malha fechada. A condição de estabilidade em malha fechada com realimentação unitária é dada por
Substituindo
obtemos
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
resulta o polinômio característico
Agora expandimos
. Primeiro
. Multiplicando por
dá
Somando
obtemos o polinômio característico em forma polinomial:
Portanto o polinômio característico é
Na teoria de sistemas, as raízes desse polinômio são os polos em malha fechada; o sistema é estável se e somente se todas as raízes têm parte real negativa.
Passo 3
Agora apresento, didaticamente, o método de Routh–Hurwitz para este polinômio de grau 3.
O método de Routh constrói uma tabela (o “quadro de Routh”) a partir dos coeficientes do polinômio. Para um polinômio cúbico
a primeira linha (linha
) leva os coeficientes de termos de ordem ímpar e a segunda linha (linha
) leva os de ordem par, organizados assim:
linha
:
e
linha :
e
linha
A entrada da linha
na primeira coluna é calculada pela fórmula
e a linha
tem simplesmente
(na primeira coluna). O critério de estabilidade via Routh é: todas as entradas da primeira coluna da tabela devem ser estritamente positivas (para estabilidade estrita, ou seja, todas as raízes no semiplano esquerdo).
No nosso caso, comparando com
temos
Passo 4
Construímos explicitamente a tabela de Routh para o nosso polinômio. A tabela (apenas as colunas necessárias) fica:
Agora calculamos a entrada da primeira coluna da linha
(chamei de
):
Pelo critério de Routh, para estabilidade estrita todas as entradas da primeira coluna devem ser positivas. Listando essas condições:
- Da linha
: . (sempre verdadeira) - Da linha
: . (sempre verdadeira) - Da linha
: isto é
- Da linha
: .
A condição mais restritiva é
, que já implica
. Portanto a faixa de valores de
que garante estabilidade em malha fechada é
Passo 5
Agora tratamos do caso em que a resposta fica “não amortecida” — isto é, há polos com parte real zero (pares conjugados puramente imaginários), o que gera oscilações sustentadas (marginalmente estável). Pelo Routh vimos que quando
temos uma situação crítica: isso ocorre quando
Esse valor é candidato a produzir polos sobre o eixo imaginário. Para confirmar e achar a frequência dos polos imaginários vamos procurar raízes puramente imaginárias da equação característica substituindo
(com
) em
Substituindo
e separando partes real e imaginária (usando
) obtemos
Separando em parte real e imaginária:
parte real:
parte real:
parte imaginária:
Desconsideramos
(isso daria um polo em
, que não é o caso de interesse). Então
Igualando as duas expressões de
:
Substituindo
em
dá
confirmando que
produz um par de polos puramente imaginários com frequência
, ou seja polos
.
Podemos ainda fatorar o polinômio característico para
para ver todos os polos. Com
o polinômio é
Fatorando, notamos que
Isso dá raízes
e
. Os polos dominantes (aqueles com maior parte real) são o par imaginário
(parte real zero), porque o terceiro polo tem parte real
(mais à esquerda).
Comentário de intuição: para
o sistema é estritamente estável (todos os polos no semiplano esquerdo). Para
aparece o par imaginário e o sistema é marginalmente estável (oscilações não amortecidas). Para
a tabela de Routh mostra duas mudanças de sinal na primeira coluna, indicando duas raízes com parte real positiva (sistema instável).
Resposta
(a)
\n(b)
. Polos dominantes:
(os outros polos são
).