Questão 02: Um sistema possui um ganho k em série com uma função de transferência, em malha aberta dada por \mathrm{G}(\mathrm{s}) :
G(s)=\frac{k(s+1)}{s(s-1)(s+4)}
a) Verifique, por meio do método de Routh-Hurwitz, a faixa de valores de k que faz com que o sistema seja estável.
b) Também pelo método de Routh-Hurwitz, mostre qual o valor do ganho k que faz com que a resposta do sistema seja não amortecida. Calcule o valor dos polos dominantes para esse caso.

Passo 1

O enunciado dá que a função de malha aberta é G(s)=\frac{k(s+1)}{s(s-1)(s+4)}.
Pede-se:
  1. (a) Determinar, usando Routh–Hurwitz, a faixa de valores de k que torna o sistema em malha fechada estável.
  2. (b) Pelo mesmo método, encontrar o valor de k que faz a resposta ser não amortecida (ou seja, que leva a oscilações sustentadas / polos sobre o eixo imaginário) e calcular os polos dominantes nesse caso.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
G(s)=\frac{k(s+1)}{s(s-1)(s+4)}
e assume-se o fechamento em unidade de realimentação (padrão quando não indicado), portanto a equação característica será 1+G(s)=0.

Passo 2

Vamos obter a equação característica do sistema em malha fechada. A condição de estabilidade em malha fechada com realimentação unitária é dada por
1+G(s)=0.
Substituindo G(s) obtemos
1+\frac{k(s+1)}{s(s-1)(s+4)}=0.
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum s(s-1)(s+4) resulta o polinômio característico
s(s-1)(s+4)+k(s+1)=0.
Agora expandimos s(s-1)(s+4). Primeiro (s-1)(s+4)=s^2+3s-4. Multiplicando por s
s^3+3s^2-4s.
Somando k(s+1) obtemos o polinômio característico em forma polinomial:
s^3+3s^2-4s+k(s+1)=s^3+3s^2+(k-4)s+k.
Portanto o polinômio característico é
\Delta(s)=s^3+3s^2+(k-4)s+k.
Na teoria de sistemas, as raízes desse polinômio são os polos em malha fechada; o sistema é estável se e somente se todas as raízes têm parte real negativa.

Passo 3

Agora apresento, didaticamente, o método de Routh–Hurwitz para este polinômio de grau 3.
O método de Routh constrói uma tabela (o “quadro de Routh”) a partir dos coeficientes do polinômio. Para um polinômio cúbico
s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0
a primeira linha (linha s^3) leva os coeficientes de termos de ordem ímpar e a segunda linha (linha s^2) leva os de ordem par, organizados assim:
linha s^3: 1 e a_1
linha s^2: a_2 e a_0
A entrada da linha s^1 na primeira coluna é calculada pela fórmula
b_1 = \frac{a_2\cdot a_1 - 1\cdot a_0}{a_2},
e a linha s^0 tem simplesmente a_0 (na primeira coluna). O critério de estabilidade via Routh é: todas as entradas da primeira coluna da tabela devem ser estritamente positivas (para estabilidade estrita, ou seja, todas as raízes no semiplano esquerdo).
No nosso caso, comparando com \Delta(s)=s^3+3s^2+(k-4)s+k temos
a_2=3,\quad a_1=k-4,\quad a_0=k.

Passo 4

Construímos explicitamente a tabela de Routh para o nosso polinômio. A tabela (apenas as colunas necessárias) fica:
\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & k-4\\[4pt]\hline s^2 & 3 & k\\[4pt] s^1 & \dfrac{3\,(k-4)-1\cdot k}{3} & 0\\[10pt] s^0 & k & 0 \end{array}
Agora calculamos a entrada da primeira coluna da linha s^1 (chamei de b_1):
b_1=\frac{3(k-4)-k}{3}=\frac{3k-12-k}{3}=\frac{2k-12}{3}=\frac{2}{3}k-4.
Pelo critério de Routh, para estabilidade estrita todas as entradas da primeira coluna devem ser positivas. Listando essas condições:
  1. Da linha s^3: 1>0. (sempre verdadeira)
  2. Da linha s^2: 3>0. (sempre verdadeira)
  3. Da linha s^1: b_1>0 isto é
\frac{2k-12}{3}>0 \quad\Longrightarrow\quad 2k-12>0 \quad\Longrightarrow\quad k>6.
  1. Da linha s^0: k>0.
A condição mais restritiva é k>6, que já implica k>0. Portanto a faixa de valores de k que garante estabilidade em malha fechada é
k>6.]

Passo 5

Agora tratamos do caso em que a resposta fica “não amortecida” — isto é, há polos com parte real zero (pares conjugados puramente imaginários), o que gera oscilações sustentadas (marginalmente estável). Pelo Routh vimos que quando b_1=0 temos uma situação crítica: isso ocorre quando
\frac{2k-12}{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad k=6.
Esse valor é candidato a produzir polos sobre o eixo imaginário. Para confirmar e achar a frequência dos polos imaginários vamos procurar raízes puramente imaginárias da equação característica substituindo s=j\omega (com \omega>0) em
\Delta(s)=s^3+3s^2+(k-4)s+k.
Substituindo s=j\omega e separando partes real e imaginária (usando j^2=-1,\;j^3=-j) obtemos
(-j\omega^3)+(-3\omega^2)+j(k-4)\omega + k = 0.
Separando em parte real e imaginária:
parte real:
-3\omega^2 + k = 0 \quad\Rightarrow\quad k = 3\omega^2.
parte imaginária:
- \omega^3 + (k-4)\omega = 0 \quad\Rightarrow\quad \omega\bigl(-\omega^2 + k-4\bigr)=0.
Desconsideramos \omega=0 (isso daria um polo em s=0, que não é o caso de interesse). Então
-\omega^2 + k - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad k = \omega^2 + 4.
Igualando as duas expressões de k:
3\omega^2 = \omega^2 + 4 \quad\Rightarrow\quad 2\omega^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad \omega^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad \omega=\sqrt{2}.
Substituindo \omega^2=2 em k=3\omega^2
k = 3\cdot 2 = 6,
confirmando que k=6 produz um par de polos puramente imaginários com frequência \omega=\sqrt{2}, ou seja polos s=\pm j\sqrt{2}.
Podemos ainda fatorar o polinômio característico para k=6 para ver todos os polos. Com k=6 o polinômio é
s^3+3s^2+2s+6.
Fatorando, notamos que
s^3+3s^2+2s+6=(s+3)(s^2+2).
Isso dá raízes s=-3 e s^2+2=0\Rightarrow s=\pm j\sqrt{2}. Os polos dominantes (aqueles com maior parte real) são o par imaginário \pm j\sqrt{2} (parte real zero), porque o terceiro polo tem parte real -3 (mais à esquerda).
Comentário de intuição: para k>6 o sistema é estritamente estável (todos os polos no semiplano esquerdo). Para k=6 aparece o par imaginário e o sistema é marginalmente estável (oscilações não amortecidas). Para 0<k<6 a tabela de Routh mostra duas mudanças de sinal na primeira coluna, indicando duas raízes com parte real positiva (sistema instável).

Resposta

(a) k>6\n(b) k=6. Polos dominantes: s=\pm j\sqrt{2} (os outros polos são s=-3).

Exercícios relacionados