Questão 03: Um processo possui um tanque de armazenamento de líquido possui função de transferência em malha aberta dada por
.
a) Dado que é desejado que o sistema em malha fechada apresente
e
seg, escolha um controlador apropriado e faça o seu projeto pelo método do LGR. Explique a escolha do controlador.
b) Com o controlador projetado, verifique se a dinâmica desejada foi atendida.
Obs.: Considere a referência do tipo degrau e realimentação unitária e negativa e resposta.
b) Com o controlador projetado, verifique se a dinâmica desejada foi atendida.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Função de transferência em malha aberta do processo:
- Especificações desejadas para a resposta ao degrau (malha fechada, realimentação unitária e negativa):
- Sobressinal máximo
. - Tempo de acomodação (2% ou aproximado pelo critério usado)
s.
- Sobressinal máximo
- O enunciado exige explicitamente que o projeto do controlador seja feito pelo método do LGR (Lugar das Raízes).
- Perguntas:
(a) Escolher um controlador apropriado e projetá-lo pelo LGR, explicando a escolha.
(b) Com o controlador projetado, verificar se a dinâmica desejada foi atendida.
Passo 2
Relacionar as especificações de tempo com os parâmetros de um segundo-ordem dominante. Primeiro convertemos
em coeficiente de amortecimento
.
A fórmula que relaciona o sobressinal máximo
com
para resposta subamortecida é
Aqui
é a fração (por exemplo
para
). Vamos resolver para
.
Tomando logaritmo e isolando
temos
Substituindo
:
Resolvendo numericamente:
Explicação didática: essa fórmula vem da solução analítica da resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem padrão. O parâmetro
controla amortecimento e, portanto, o sobressinal.
Passo 3
Usar
para obter a frequência natural não amortecida
.
A relação aproximada entre tempo de acomodação (critério 2%) e
é
Isolando
:
Substituindo
e
s:
Didática:
define a velocidade natural do oscilador; com
fixa,
ajusta quão rápido a resposta decai.
Passo 4
Determinar os polos desejados (dominantes) na forma complexa:
Substituindo os valores:
Portanto os polos desejados são aproximadamente
Comentário: observe que
, ou seja, um dos polos desejados fica muito próximo do polo aberto em
do processo — isso influencia a escolha do controlador.
Passo 5
Escolha do tipo de controlador (explicação e justificativa)
- O processo
tem dois polos reais em e e nenhum zero. - As especificações impõem polos dominantes complexos em
. - Um controlador que adiciona um zero (por exemplo, um PD ou avanço de fase simples
) é adequado porque: - Não adiciona polos que complicariam estabilidade;
- Um zero bem colocado pode atrair o lugar das raízes para passar pelo ponto desejado e aumentar amortecimento/velocidade.
- Portanto escolhemos um controlador proporcional com zero (PD/compensador avanço simple) da forma
com
(zero na posição
). Vou projetar
pelo critério de ângulo do LGR e depois obter
pela condição de módulo.
Didática: no LGR, para que um ponto
esteja no lugar das raízes do laço aberto
deve ser satisfeita a condição de ângulo; escolher um zero permite ajustar a soma dos ângulos para que o ponto desejado pertença ao locus.
Passo 6
Aplicar a condição de ângulo do Lugar das Raízes para encontrar
.
Queremos que
esteja no locus de
. A condição de ângulo (para
inteiro) é
Escrevendo as contribuições:
- pólos em
e fornecem ângulos e . - zero em
fornece ângulo .
Tomando
(caso mais simples), a condição é
Agora calculamos numericamente os ângulos das contribuições conhecidas:
Portanto desejamos
tal que
Reduzindo módulo
:
Agora escrevemos
onde
(zero em
), pois
Assim
Passo 7
Resolver numericamente para
(posição do zero):
Calcule
. Então
Assim
Portanto escolhemos o zero do controlador em
, i.e.
. Nosso controlador tem forma
Didática: foi usada a geometria de ângulos no plano complexo — colocar o zero em
corrige a soma dos ângulos para que o ponto desejado fique no locus.
Passo 8
Determinar o ganho
pela condição de módulo (magnitude) do LGR no ponto
:
A condição de módulo para
ser raiz fechada é
Calculamos as magnitudes:
Logo
Impondo
obtém-se
Portanto o controlador projetado é
Didática: a condição de módulo garante que com esse
o ponto escolhido é de fato um pólo do sistema em malha fechada.
Passo 9
Escrever o polinômio característico em malha fechada e verificar os polos fechados exatos.
A equação característica é
Multiplicando por
:
Desenvolvendo (note
e
):
Agora achamos as raízes:
Calculando numericamente:
Compare com os polos desejados
: muito próximos — bom sinal.
Didática: adicionar um zero não aumentou a ordem do denominador (já que adicionamos apenas um zero), resultando em um polinômio de segunda ordem para os polos dominantes — fácil de analisar.
Passo 10
Verificar as especificações
e
com os polos fechados encontrados.
Calcule
Calcule
Calcule
Agora o sobressinal:
Tempo de acomodação (2%):
Conclusão: as especificações são atendidas em valores muito próximos aos desejados.
Comentário adicional sobre erro em regime permanente: como o processo tem um pólo em
(tipo 1) e usamos realimentação unitária, o erro em regime permanente para referência degrau será zero — isto é, boa precisão em estado estacionário.
Passo 11
Resumo da escolha e interpretação prática (breve e motivacional)
- Escolhemos um controlador com zero (PD/compensador avanço simples) porque essa forma permite posicionar o lugar das raízes para atravessar o ponto desejado sem complicar a ordem do sistema.
- Através das condições de ângulo e módulo do LGR encontramos:
- zero em
, - ganho
.
- zero em
- Verificamos que os polos fechados ficam em
, o que gera e s — ou seja, as especificações foram atingidas na prática.
Resposta
(a)
.\n(b)
e
(especificações atendidas).