Questão 03: Um processo possui um tanque de armazenamento de líquido possui função de transferência em malha aberta dada por \mathrm{G}(\mathrm{s}).
G(s)=\frac{4}{s^{2}+s}
a) Dado que é desejado que o sistema em malha fechada apresente \mathrm{Mp}=10 \% e \mathrm{Ts}=4 seg, escolha um controlador apropriado e faça o seu projeto pelo método do LGR. Explique a escolha do controlador.
b) Com o controlador projetado, verifique se a dinâmica desejada foi atendida.
Obs.: Considere a referência do tipo degrau e realimentação unitária e negativa e resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Função de transferência em malha aberta do processo:
G(s)=\frac{4}{s^{2}+s}=\frac{4}{s(s+1)}
  • Especificações desejadas para a resposta ao degrau (malha fechada, realimentação unitária e negativa):
    • Sobressinal máximo \mathrm{Mp}=10\%.
    • Tempo de acomodação (2% ou aproximado pelo critério usado) \mathrm{Ts}=4 s.
  • O enunciado exige explicitamente que o projeto do controlador seja feito pelo método do LGR (Lugar das Raízes).
  • Perguntas:
    (a) Escolher um controlador apropriado e projetá-lo pelo LGR, explicando a escolha.
    (b) Com o controlador projetado, verificar se a dinâmica desejada foi atendida.

Passo 2

Relacionar as especificações de tempo com os parâmetros de um segundo-ordem dominante. Primeiro convertemos \mathrm{Mp} em coeficiente de amortecimento \zeta.
A fórmula que relaciona o sobressinal máximo \mathrm{Mp} com \zeta para resposta subamortecida é
\mathrm{Mp} = e^{\displaystyle -\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}}.
Aqui \mathrm{Mp} é a fração (por exemplo 0{,}10 para 10\%). Vamos resolver para \zeta.
Tomando logaritmo e isolando \zeta temos
\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} = -\ln(\mathrm{Mp}).
Substituindo \mathrm{Mp}=0{,}10:
\frac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} = -\ln(0{,}10)\approx 2{,}302585.
Resolvendo numericamente:
\zeta \approx 0{,}591.
Explicação didática: essa fórmula vem da solução analítica da resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem padrão. O parâmetro \zeta controla amortecimento e, portanto, o sobressinal.

Passo 3

Usar \mathrm{Ts} para obter a frequência natural não amortecida \omega_{n}.
A relação aproximada entre tempo de acomodação (critério 2%) e \zeta,\omega_{n} é
\mathrm{Ts}\approx \frac{4}{\zeta \omega_{n}}.
Isolando \omega_{n}:
\omega_{n} \approx \frac{4}{\zeta\,\mathrm{Ts}}.
Substituindo \zeta\approx 0{,}591 e \mathrm{Ts}=4 s:
\omega_{n} \approx \frac{4}{0{,}591\cdot 4}=\frac{1}{0{,}591}\approx 1{,}6926\\ \text{rad/s}.
Didática: \omega_n define a velocidade natural do oscilador; com \zeta fixa, \omega_n ajusta quão rápido a resposta decai.

Passo 4

Determinar os polos desejados (dominantes) na forma complexa:
s_{d} = -\zeta\omega_{n} \pm j\,\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Substituindo os valores:
\Re(s_{d}) = -\zeta\omega_{n}\approx -0{,}591\cdot 1{,}6926\approx -1{,}000,
\Im(s_{d}) = \omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}\approx 1{,}6926\sqrt{1-0{,}591^{2}}\approx 1{,}366.
Portanto os polos desejados são aproximadamente
s_{d}\approx -1{,}000 \pm j\,1{,}366.
Comentário: observe que \Re(s_d)\approx -1, ou seja, um dos polos desejados fica muito próximo do polo aberto em -1 do processo — isso influencia a escolha do controlador.

Passo 5

Escolha do tipo de controlador (explicação e justificativa)
  • O processo G(s)=4/(s(s+1)) tem dois polos reais em 0 e -1 e nenhum zero.
  • As especificações impõem polos dominantes complexos em -1\pm j1{,}366.
  • Um controlador que adiciona um zero (por exemplo, um PD ou avanço de fase simples C(s)=K(s+z)) é adequado porque:
    • Não adiciona polos que complicariam estabilidade;
    • Um zero bem colocado pode atrair o lugar das raízes para passar pelo ponto desejado e aumentar amortecimento/velocidade.
  • Portanto escolhemos um controlador proporcional com zero (PD/compensador avanço simple) da forma
C(s)=K(s+z)
com z>0 (zero na posição s=-z). Vou projetar z pelo critério de ângulo do LGR e depois obter K pela condição de módulo.
Didática: no LGR, para que um ponto s esteja no lugar das raízes do laço aberto L(s)=C(s)G(s) deve ser satisfeita a condição de ângulo; escolher um zero permite ajustar a soma dos ângulos para que o ponto desejado pertença ao locus.

Passo 6

Aplicar a condição de ângulo do Lugar das Raízes para encontrar z.
Queremos que s_d=-1+j1{,}366 esteja no locus de L(s)=K\cdot \dfrac{4(s+z)}{s(s+1)}. A condição de ângulo (para k inteiro) é
\angle L(s_d) = (2k+1)\,180^\circ.
Escrevendo as contribuições:
  • pólos em 0 e -1 fornecem ângulos \angle(s_d-0) e \angle(s_d+1).
  • zero em -z fornece ângulo \angle(s_d+z).
Tomando k=0 (caso mais simples), a condição é
\angle(s_d+z) - \angle(s_d) - \angle(s_d+1) = 180^\circ.
Agora calculamos numericamente os ângulos das contribuições conhecidas:
s_d=-1+j1{,}366.
  • \angle(s_d) = \angle(-1+j1{,}366) = 180^\circ - \arctan\!\left(\dfrac{1{,}366}{1}\right)\approx 126{,}1^\circ.
  • \angle(s_d+1) = \angle(0+j1{,}366)=90^\circ.
Portanto desejamos \angle(s_d+z) tal que
\angle(s_d+z) \approx 180^\circ + 126{,}1^\circ + 90^\circ = 396{,}1^\circ.
Reduzindo módulo 360^\circ:
\angle(s_d+z) \equiv 36{,}1^\circ.
Agora escrevemos \angle(s_d+z)=\arctan\!\left(\dfrac{1{,}366}{a-1}\right) onde z=a (zero em -a), pois
s_d+z = (-1+a)+j1{,}366.
Assim
\arctan\!\left(\dfrac{1{,}366}{a-1}\right)\approx 36{,}1^\circ.

Passo 7

Resolver numericamente para a (posição do zero):
Calcule \tan(36{,}1^\circ)\approx 0{,}727. Então
\frac{1{,}366}{a-1}=0{,}727 \quad\Rightarrow\quad a-1=\frac{1{,}366}{0{,}727}\approx 1{,}879.
Assim
a\approx 2{,}879.
Portanto escolhemos o zero do controlador em s=-2{,}879, i.e. z\approx 2{,}879. Nosso controlador tem forma
C(s)=K(s+2{,}879).
Didática: foi usada a geometria de ângulos no plano complexo — colocar o zero em -2{,}879 corrige a soma dos ângulos para que o ponto desejado fique no locus.

Passo 8

Determinar o ganho K pela condição de módulo (magnitude) do LGR no ponto s_d:
A condição de módulo para s_d ser raiz fechada é
|L(s_d)|=1 \quad\text{com}\quad L(s)=K\frac{4(s+2{,}879)}{s(s+1)}.
Calculamos as magnitudes:
|s_d+2{,}879| = |(-1+2{,}879)+j1{,}366| = |1{,}879 + j1{,}366| \approx 2{,}323.
|s_d| = \sqrt{(-1)^{2}+1{,}366^{2}} \approx 1{,}693.
|s_d+1| = |j1{,}366| = 1{,}366.
Logo
|L(s_d)| = K\cdot \frac{4\cdot 2{,}323}{1{,}693\cdot 1{,}366} \approx K\cdot 4{,}016.
Impondo |L(s_d)|=1 obtém-se
K \approx \frac{1}{4{,}016}\approx 0{,}249.
Portanto o controlador projetado é
C(s)=0{,}249\,(s+2{,}879).
Didática: a condição de módulo garante que com esse K o ponto escolhido é de fato um pólo do sistema em malha fechada.

Passo 9

Escrever o polinômio característico em malha fechada e verificar os polos fechados exatos.
A equação característica é
1 + C(s)G(s) = 0 \quad\Rightarrow\quad 1 + 0{,}249\,(s+2{,}879)\cdot\frac{4}{s(s+1)}=0.
Multiplicando por s(s+1):
s(s+1) + 4\cdot 0{,}249 (s+2{,}879)=0.
Desenvolvendo (note 4\cdot 0{,}249\approx 0{,}996 e 4\cdot 0{,}249\cdot 2{,}879\approx 2{,}8675):
s^{2} + s + 0{,}996\,s + 2{,}8675 = 0
s^{2} + 1{,}996\,s + 2{,}8675 = 0.
Agora achamos as raízes:
s = \frac{-1{,}996 \pm \sqrt{1{,}996^{2} - 4\cdot 2{,}8675}}{2}.
Calculando numericamente:
\Delta = 1{,}996^{2} - 11{,}47 \approx -7{,}486 \quad(\text{negativo}),
s \approx -0{,}998 \pm j\,1{,}3685.
Compare com os polos desejados -1{,}000 \pm j1{,}366: muito próximos — bom sinal.
Didática: adicionar um zero não aumentou a ordem do denominador (já que adicionamos apenas um zero), resultando em um polinômio de segunda ordem para os polos dominantes — fácil de analisar.

Passo 10

Verificar as especificações \mathrm{Mp} e \mathrm{Ts} com os polos fechados encontrados.
Calcule \omega_{n,\text{efe}} = \sqrt{(-0{,}998)^{2} + (1{,}3685)^{2}} \approx 1{,}694.
Calcule \zeta_{\text{efe}} = \dfrac{-\Re(s)}{\omega_{n,\text{efe}}} \approx \dfrac{0{,}998}{1{,}694}\approx 0{,}589.
Agora o sobressinal:
\mathrm{Mp}_{\text{efe}} = e^{\displaystyle -\frac{\pi \zeta_{\text{efe}}}{\sqrt{1-\zeta_{\text{efe}}^{2}}}} \approx e^{-2{,}287}\approx 0{,}101 \;(\text{ou }10{,}1\%).
Tempo de acomodação (2%):
\mathrm{Ts}_{\text{efe}} \approx \frac{4}{\zeta_{\text{efe}}\omega_{n,\text{efe}}}\approx \frac{4}{0{,}589\cdot 1{,}694}\approx 4{,}00\\ \text{s}.
Conclusão: as especificações são atendidas em valores muito próximos aos desejados.
Comentário adicional sobre erro em regime permanente: como o processo tem um pólo em s=0 (tipo 1) e usamos realimentação unitária, o erro em regime permanente para referência degrau será zero — isto é, boa precisão em estado estacionário.

Passo 11

Resumo da escolha e interpretação prática (breve e motivacional)
  • Escolhemos um controlador com zero (PD/compensador avanço simples) porque essa forma permite posicionar o lugar das raízes para atravessar o ponto desejado sem complicar a ordem do sistema.
  • Através das condições de ângulo e módulo do LGR encontramos:
    • zero em s=-2{,}879,
    • ganho K\approx 0{,}249.
  • Verificamos que os polos fechados ficam em -0{,}998\pm j1{,}3685, o que gera \mathrm{Mp}\approx 10{,}1\% e \mathrm{Ts}\approx 4{,}00 s — ou seja, as especificações foram atingidas na prática.

Resposta

(a) \displaystyle C(s)=0{,}249\,(s+2{,}879).\n(b) \mathrm{Mp}\approx 10{,}1\% e \mathrm{Ts}\approx 4{,}00\\ \text{s} (especificações atendidas).

Exercícios relacionados