Questão 02: Tem-se 500 g de uma solução aquosa de sacarose ( \mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11} ) saturada a 50^{\circ} \mathrm{C}. Qual a massa de cristais precipitada quando a solução for resfriada, sob agitação, até 30^{\circ} \mathrm{C} ?
Dados: Coeficiente de solubilidade (Cs) da sacarose em água:
Cs à 30^{\circ} \mathrm{C}=220 \mathrm{~g} / 100 \mathrm{~g} de água
Cs à 50^{\circ} \mathrm{C}=260 \mathrm{~g} / 100 \mathrm{~g} de água

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a massa de cristais de sacarose que precipita quando uma solução saturada é resfriada de 50^\circ\mathrm{C} para 30^\circ\mathrm{C}, sob agitação.
Informações dadas (peguei do enunciado):
  • Massa total da solução saturada a 50^\circ\mathrm{C}: 500\\ \text{g}.
  • Coeficiente de solubilidade da sacarose:
    • C_s a 50^\circ\mathrm{C} = 260\\ \text{g de sacarose} / 100\\ \text{g de água}á.
    • C_s a 30^\circ\mathrm{C} = 220\\ \text{g de sacarose} / 100\\ \text{g de água}á.
O que significa “coeficiente de solubilidade” aqui:
  • C_s em g/100\\ \text{g de água}á diz quantos gramas de sacarose ficam dissolvidos quando há 100\\ \text{g} de água, para a solução saturada naquela temperatura.
Objetivo prático:
  • Calcular quanto de sacarose estava dissolvida inicialmente (a 50^\circ\mathrm{C});
  • Calcular quanto pode permanecer dissolvido a 30^\circ\mathrm{C} com a mesma massa de água;
  • A diferença será a massa precipitada em cristais (assumindo que não houve perda de água).

Passo 2

Definir variáveis e escrever as relações:
  • Seja w a massa de água presente na solução (em g).
  • Seja s a massa de sacarose dissolvida inicialmente (em g).
  • A massa total da solução é
w + s = 500\\ \text{g}.
  • Como a solução está saturada a 50^\circ\mathrm{C}, a quantidade de sacarose por 100\\ \text{g} de água é 260\\ \text{g}. Isso dá a relação
s = \frac{260}{100}\,w = 2{,}6\,w.
(Explicando: multiplicou-se a proporção por w/100 para obter gramas de sacarose correspondentes a w gramas de água.)

Passo 3

Determinar w (massa de água) a partir do sistema:
  • Substituindo s=2{,}6\,w em w+s=500:
w + 2{,}6\,w = 500 \quad\Rightarrow\quad 3{,}6\,w = 500.
  • Logo
w = \frac{500}{3{,}6} = \frac{1250}{9}\\ \text{g} \approx 138{,}888\ldots\\ \text{g}.
(Usei a forma fracionária \frac{1250}{9} para manter exatidão.)
Agora calcule s (sacarose dissolvida inicialmente a 50^\circ\mathrm{C}):
s = 2{,}6\,w = 2{,}6\cdot\frac{1250}{9} = \frac{3250}{9}\\ \text{g} \approx 361{,}111\ldots\\ \text{g}.

Passo 4

Calcular quanto de sacarose pode ficar dissolvido a 30^\circ\mathrm{C} com a mesma massa de água:
  • A solubilidade a 30^\circ\mathrm{C} é 220\\ \text{g} por 100\\ \text{g} de água, ou seja
s_{30} = \frac{220}{100}\,w = 2{,}2\,w.
  • Substituindo w=\dfrac{1250}{9},
s_{30} = 2{,}2\cdot\frac{1250}{9} = \frac{2750}{9}\\ \text{g} \approx 305{,}555\ldots\\ \text{g}.

Passo 5

Determinar a massa de cristais precipitada:
  • A massa que precipita é a diferença entre a massa inicialmente dissolvida e a massa que pode permanecer dissolvida a 30^\circ\mathrm{C}:
\Delta = s - s_{30} = \frac{3250}{9} - \frac{2750}{9} = \frac{500}{9}\\ \text{g}.
  • Em valor decimal:
\Delta = \frac{500}{9}\\ \text{g} \approx 55{,}555\ldots\\ \text{g}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais): 55{,}56\\ \text{g}.

Resposta

55{,}56\\ \text{g}

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