Questão 03- Dado o sinal x[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} u[n+3], calcule sua transformada Z.

Passo 1

O enunciado dá o sinal x[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}u[n+3] e pede para calcular a sua transformada Z.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão do sinal é x[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}u[n+3].
  • A função degrau deslocada u[n+3] vale 1 para n\ge -3 e 0 para n<-3.
  • Portanto, x[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} apenas para n\ge -3; para n<-3, x[n]=0.
O que se pede: calcular a transformada Z de x[n] (isto é, obter X(z) e identificar a região de convergência se necessário).

Passo 2

Definição que vamos usar (transformada Z bilateral):
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n},
onde z é uma variável complexa. Aqui:
  • x[n] é a sequência no tempo.
  • z^{-n} é o fator de análise (dependente de z e do índice n).
  • A soma é sobre todos os inteiros n, mas na prática os termos com x[n]=0 não contribuem.
    Também é importante a Região de Convergência (ROC): os valores de z para os quais a soma acima converge.

Passo 3

Usando que u[n+3]=1 para n\ge -3 e zero caso contrário, podemos restringir a soma:
X(z)=\sum_{n=-3}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} z^{-n}.
Aqui já substituímos x[n] na definição da transformada Z e escrevemos explicitamente os limites da soma.

Passo 4

Vamos simplificar a soma mudando o índice para partir de 0. Defina k=n+3. Então quando n=-3 temos k=0 e quando n\to\infty temos k\to\infty. Substituindo n=k-3 temos:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k-3+1} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k-2},
e
z^{-n}=z^{-(k-3)}=z^{3}z^{-k}.
Então a soma fica
X(z)=\sum_{k=0}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k-2}\, z^{3} z^{-k}.
Factorizando os termos independentes de k:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k-2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} = 4\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k},
portanto
X(z)=4 z^{3} \sum_{k=0}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} z^{-k}.
Escrevendo a potência combinada:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} z^{-k} = \left(\frac{1}{2z}\right)^{k}.
Logo
X(z)=4 z^{3} \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2z}\right)^{k}.

Passo 5

A soma é uma série geométrica padrão. Recordando a fórmula da soma de uma série geométrica: para |r|<1,
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k} = \frac{1}{1-r}.
Aqui r=\dfrac{1}{2z}. A série converge se \left|\dfrac{1}{2z}\right|<1, isto é se |z|>\tfrac{1}{2}. Aplicando a soma geométrica:
\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2z}\right)^{k} = \frac{1}{1-\dfrac{1}{2z}}.
Portanto
X(z)=4 z^{3}\cdot \frac{1}{1-\dfrac{1}{2z}}.
E a condição de convergência (ROC) é |z|>\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Agora simplificamos a expressão algébrica para uma forma racional mais comum. Primeiro escrevemos o denominador com denominador comum:
1-\frac{1}{2z} = \frac{2z-1}{2z}.
Logo
X(z)=4 z^{3}\cdot \frac{2z}{2z-1} = \frac{8 z^{4}}{2z-1}.
Podemos fatorar 2 no denominador para obter uma forma ainda mais simples:
2z-1 = 2\left(z-\tfrac{1}{2}\right)
e com isso
X(z)=\frac{8 z^{4}}{2(z-\tfrac{1}{2})} = \frac{4 z^{4}}{z-\tfrac{1}{2}}.
Outra forma equivalente, usando potências negativas de z, é
X(z)=\frac{4 z^{3}}{1-\tfrac{1}{2}z^{-1}}.
Ambas as formas são equivalentes; a ROC permanece |z|>\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Resumo e interpretação (rápida, para lembrar na prova):
  • A manipulação principal foi reduzir a soma a uma série geométrica, usar a fórmula de soma e deduzir a ROC pela condição de convergência da geométrica.
  • Há um pólo simples em z=\tfrac{1}{2} (onde o denominador se anula).
  • A ROC |z|>\tfrac{1}{2} inclui o infinito, o que corresponde ao fato de a sequência ser “direita” (suporte a partir de n=-3 até +\infty).

Resposta

X(z)=\frac{4 z^{3}}{1-\tfrac{1}{2}z^{-1}}=\frac{4 z^{4}}{z-\tfrac{1}{2}}
ROC: |z|>\tfrac{1}{2}

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