Questão 03- Dado o sinal x[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} u[n+3], calcule sua transformada Z.
Passo 1
O enunciado dá o sinal x[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}u[n+3] e pede para calcular a sua transformada Z.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A expressão do sinal é x[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}u[n+3].
A função degrau deslocada u[n+3] vale 1 para n\ge -3 e 0 para n<-3.
Portanto, x[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1} apenas para n\ge -3; para n<-3, x[n]=0.
O que se pede: calcular a transformada Z de x[n] (isto é, obter X(z) e identificar a região de convergência se necessário).
Passo 2
Definição que vamos usar (transformada Z bilateral):
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n},
onde z é uma variável complexa. Aqui:
x[n] é a sequência no tempo.
z^{-n} é o fator de análise (dependente de z e do índice n).
A soma é sobre todos os inteiros n, mas na prática os termos com x[n]=0 não contribuem.
Também é importante a Região de Convergência (ROC): os valores de z para os quais a soma acima converge.
Passo 3
Usando que u[n+3]=1 para n\ge -3 e zero caso contrário, podemos restringir a soma:
Aqui já substituímos x[n] na definição da transformada Z e escrevemos explicitamente os limites da soma.
Passo 4
Vamos simplificar a soma mudando o índice para partir de 0. Defina k=n+3. Então quando n=-3 temos k=0 e quando n\to\infty temos k\to\infty. Substituindo n=k-3 temos: