(Questão 04) A densidade planar (DP), é definida como o número de átomos por unidade de área, os quais estão centrados em um plano cristalográfico particular e densidade linear (DL), é calculada como o número de átomos, por unidade de comprimento, cujos centros estão sobre o vetor direção, dada uma direção cristalográfica específica. Assim um estudante de engenharia decidiu calcular a densidade planar para o plano (110) e linear para a direção [110] da estruturas CCC do Fe alfa e obteve como respostas. Obs: resposta aceita mediante a apresentação da memória de cálculo. (1,0 Ponto)
I - A densidade planar para a estrutura CFC, apresentou valor de 1,72 \times 10^{10} átomos / \mathrm{mm}^{2}, sendo considerado a área ocupada por 2 átomos;
II- A densidade linear para a direção [110] da estrutura CCC, apresentou valor de 3,92 \times 10^{6} átomos / \mathrm{mm} sendo considerado a área ocupada por 1 átomo;
III - Quando comparado o valor da densidade planar do plano (110) com o plano (111), para estrutura CFC, observouse para o novo plano o valor de 0,91 ;
É correto afirmar o que se afirmar em:
a) I, II e III.
b) I e II
c) I e III
d) II e III
e) NDA (Nenhuma das alternativas anteriores)

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se as três afirmativas I, II e III estão corretas. Vou listar claramente cada afirmativa (sem resolver ainda), para não nos perdermos:
  • I — A densidade planar para a estrutura CFC no plano (110) apresentou valor de 1,72\times10^{10} átomos/ \mathrm{mm}^{2}, sendo considerado a área ocupada por 2 átomos.
  • II — A densidade linear para a direção [110] da estrutura CCC (Fe \alpha, BCC) apresentou valor de 3,92\times10^{6} átomos/ \mathrm{mm}, sendo considerado a área ocupada por 1 átomo.
  • III — Ao comparar a densidade planar do plano (110) com a do plano (111) para estrutura CFC, observou‑se para o novo plano o valor de 0,91 (interpreto isto como a razão \dfrac{\text{DP}(110)}{\text{DP}(111)}=0{,}91 ou similar).
Meu objetivo: calcular corretamente as densidades (em forma simbólica e quando necessário numericamente) e checar se cada afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (aulas rápidas):
  • Densidade planar (DP): é o número de átomos cujos centros estão exatamente contidos em um plano cristalográfico, dividido pela área desse plano considerada (geralmente a área do primeiro reticulado bidimensional primitivo do plano). Em fórmula:
\text{DP}=\frac{N_{\text{átomos no reticulado de superfície}}}{A_{\text{reticulado}}},áí
onde N é a contribuição efetiva de átomos por célula de superfície (contando frações de átomos que ficam em bordas/centros) e A é a área da célula de superfície primitiva.
  • Densidade linear (DL): é o número de átomos cujos centros estão situados ao longo de uma direção cristalográfica, por unidade de comprimento ao longo do segmento repetitivo mais curto dessa direção. Em fórmula:
\text{DL}=\frac{N_{\text{átomos no segmento repetitivo}}}{L_{\text{segmento repetitivo}}},á
onde L é o comprimento do menor segmento que se repete ao longo da direção considerada e N é a contribuição efetiva de átomos dentro desse segmento (contando compartilhamentos).
Vou trabalhar em termos do parâmetro de rede cúbica a (lado da célula cúbica). Sempre que fizer cálculo numérico para Fe \alpha (CCC/BCC) usarei o valor conhecido:
a_{\text{Fe}\,\alpha}=2{,}8665\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=2{,}8665\times10^{-7}\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Cálculo da DP para CFC no plano (110) (passo a passo com contagem de átomos).
Geometria e reticulado superficial:
  • No CFC, os átomos ocupam os vértices e os centros das faces. O plano (110) tem uma rede superficial retangular. Dois vetores in‑plane convenientes são:
    • direção [001] com comprimento a;
    • direção [1\bar{1}0] (no plano) com comprimento igual ao espaçamento entre vizinhos projetados nessa direção, que resulta em s=\dfrac{a}{\sqrt{2}}.
  • Portanto a célula primitiva bidimensional do plano (110) tem área
A_{(110)} = a\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a^{2}}{\sqrt{2}}.
Contagem de átomos por célula de superfície:
  • Ao inspecionar a rede superficial (arranjo retangular), a célula primitiva do plano (110) contém, efetivamente, uma contribuição de 1 átomo por célula superficial (as partes de átomos em vértices/contatos dão contribuição total equivalente a 1 átomo por célula primitiva). Logo N_{(110)}=1.
Logo a densidade planar teórica (em função de a) é
\text{DP}_{\text{CFC},(110)}=\frac{1}{A_{(110)}}=\frac{1}{a^{2}/\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{a^{2}}.
Observação importante (didática e crucial para checar a afirmativa I): a célula primitiva superficial do plano (110) tem contribuição efetiva de 1 átomo, não de 2. Portanto a parte da afirmativa I que diz “sendo considerado a área ocupada por 2 átomos” está conceitualmente incorreta.

Passo 4

Cálculo da DP para CFC no plano (111) (para comparar com o (110)).
Geometria do plano (111):
  • O plano (111) em CFC é o plano mais densamente embalado (hexagonal). O espaçamento entre vizinhos na superfície (distância entre vizinhos mais próximos na malha hexagonal) é s=\dfrac{a}{\sqrt{2}} (mesma distância de vizinhança do reticulado FCC).
  • A área da célula primitiva 2D no plano hexagonal é
A_{(111)}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,s^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.
  • A célula primitiva 2D do plano (111) contém um átomo (contribuição efetiva 1). Portanto
\text{DP}_{\text{CFC},(111)}=\frac{1}{A_{(111)}}=\frac{4}{a^{2}\sqrt{3}}.

Passo 5

Comparação das duas densidades (razão) — analítica e numérica aproximada.
Razão \dfrac{\text{DP}_{(110)}}{\text{DP}_{(111)}}:
\frac{\text{DP}_{(110)}}{\text{DP}_{(111)}}=\frac{\sqrt{2}/a^{2}}{4/(a^{2}\sqrt{3})} =\frac{\sqrt{2}}{1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{6}}{4}.
Calculemos numericamente:
\frac{\sqrt{6}}{4}\approx\frac{2{,}4494897}{4}=0{,}6123724\approx0{,}612.
Interpretação: \text{DP}_{(110)} é cerca de 0{,}612 vezes \text{DP}_{(111)}. Portanto qualquer afirmação que diga que a razão é 0{,}91 está errada. Assim a afirmativa III (que afirma razão 0{,}91) é falsa.

Passo 6

Verificação numérica rápida do valor absoluto da DP (110) e checagem da afirmação I (valor dado 1{,}72\times10^{10}\\ \text{átomos}/\mathrm{mm}^2á).
A expressão simbólica é \text{DP}_{(110)}=\dfrac{\sqrt{2}}{a^{2}}. Para ver ordem de grandeza, escolha um a típico de metais CFC (por exemplo cobre a\approx3{,}615\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=3{,}615\times10^{-7}\\ \mathrm{mm}). Com esse a:
\text{DP}_{(110)}=\frac{\sqrt{2}}{a^{2}}\approx\frac{1{,}41421356}{(3{,}615\times10^{-7})^{2}} \approx\frac{1{,}414}{1{,}307\times10^{-13}} \approx1{,}08\times10^{13}\\ \text{átomos}/\mathrm{mm}^{2}.á
Note que este valor (ordem 10^{13}) é muito maior que 1{,}72\times10^{10} alegado na afirmativa I. Mesmo variando a por fatores modestos, a ordem de grandeza da DP fica em 10^{12} 10^{14}\,\text{átomos}/\mathrm{mm}^2á para parâmetros de rede típicos — portanto o número 1{,}72\times10^{10} é incompatível com a expressão real \sqrt{2}/a^{2} a menos que se assumisse um a absurdamente grande (o que não corresponde a uma estrutura cristalina metálica real). Além disso, como já demonstrado no Passo 3, a célula superficial considerada tem contribuição efetiva de 1 átomo, não 2. Conclusão: a afirmativa I é falsa.

Passo 7

Cálculo da densidade linear (DL) para a direção [110] em CCC/BCC (checagem da afirmativa II).
Geometria e contagem:
  • Em BCC, as posições de rede são nos vértices (0,0,0) e no centro do cubo (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}).
  • Considere a direção [110] partindo de um canto (0,0,0). O próximo nó de rede ao longo dessa direção ocorre em (1,1,0) que é equivalente a um canto na célula adjacente; a distância entre esses nós é o comprimento do vetor (1,1,0) vezes a, ou seja L=a\sqrt{2}.
  • Entre esses nós não existe um átomo adicional cujo centro esteja exatamente sobre a linha (o átomo do centro de célula (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}) não está sobre essa linha porque tem z=\tfrac{1}{2} enquanto a linha [110] tem z=0). Portanto, em um segmento repetitivo de comprimento L=a\sqrt{2} existem dois vértices (nas extremidades), mas cada vértice é compartilhado entre dois segmentos adjacentes; a contribuição efetiva por segmento é N_{\text{efetivo}}=1.
  • Assim
\text{DL}_{\text{CCC/BCC},[110]}=\frac{1}{a\sqrt{2}}.
Cálculo numérico para o ferro alfa (Fe \alpha, BCC) com a_{\text{Fe}\,\alpha}=2{,}8665\times10^{-7}\\ \mathrm{mm}:
\text{DL}=\frac{1}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{2{,}8665\times10^{-7}\times1{,}41421356} \approx\frac{1}{4{,}055\times10^{-7}} \approx2{,}466\times10^{6}\\ \text{átomos}/\mathrm{mm}.á
Compare com a afirmativa II que dá 3{,}92\times10^{6}\\ \text{átomos}/\mathrm{mm}á. O valor correto (usando o parâmetro de rede conhecido para Fe \alpha) é cerca de 2{,}47\times10^{6}\\ \text{átomos}/\mathrm{mm}á, não 3{,}92\times10^{6}. Além disso a frase “sendo considerado a área ocupada por 1 átomo” não faz sentido para DL (fala em área numa grandeza linear) — a contagem correta que usamos foi N_{\text{efetivo}}=1 átomo por segmento repetitivo, mas isso não justifica o número fornecido na afirmativa. Portanto a afirmativa II é falsa.

Passo 8

Resumo das verificações (motivos curtos):
  • I — Falsa. Fórmula correta \text{DP}_{\text{CFC},(110)}=\dfrac{\sqrt{2}}{a^{2}}. A célula superficial primitiva tem contribuição efetiva 1 átomo (não 2) e o valor numérico informado 1{,}72\times10^{10}\\ \mathrm{mm}^{-2} é incompatível com a expressão para parâmetros de rede reais.
  • II — Falsa. Fórmula correta para BCC em [110]: \text{DL}=\dfrac{1}{a\sqrt{2}}. Para Fe \alpha com a=2{,}8665\times10^{-7}\\ \mathrm{mm} obtém‑se \approx2{,}47\times10^{6}\\ \mathrm{átomos}/\mathrm{mm}á, não 3{,}92\times10^{6}.
  • III — Falsa. Razão correta \dfrac{\text{DP}_{(110)}}{\text{DP}_{(111)}}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\approx0{,}612, não 0{,}91.

Resposta

e) NDA (Nenhuma das alternativas anteriores)

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