(Questão 04) A densidade planar (DP), é definida como o número de átomos por unidade de área, os quais estão centrados em um plano cristalográfico particular e densidade linear (DL), é calculada como o número de átomos, por unidade de comprimento, cujos centros estão sobre o vetor direção, dada uma direção cristalográfica específica. Assim um estudante de engenharia decidiu calcular a densidade planar para o plano (110) e linear para a direção [110] da estruturas CCC do Fe alfa e obteve como respostas. Obs: resposta aceita mediante a apresentação da memória de cálculo. (1,0 Ponto)
I - A densidade planar para a estrutura CFC, apresentou valor de
átomos
, sendo considerado a área ocupada por 2 átomos;
II- A densidade linear para a direção [110] da estrutura CCC, apresentou valor de
átomos
sendo considerado a área ocupada por 1 átomo;
III - Quando comparado o valor da densidade planar do plano (110) com o plano (111), para estrutura CFC, observouse para o novo plano o valor de 0,91 ;
É correto afirmar o que se afirmar em:
a) I, II e III.
b) I e II
c) I e III
d) II e III
e) NDA (Nenhuma das alternativas anteriores)
II- A densidade linear para a direção [110] da estrutura CCC, apresentou valor de
III - Quando comparado o valor da densidade planar do plano (110) com o plano (111), para estrutura CFC, observouse para o novo plano o valor de 0,91 ;
a) I, II e III.
b) I e II
c) I e III
d) II e III
e) NDA (Nenhuma das alternativas anteriores)
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se as três afirmativas I, II e III estão corretas. Vou listar claramente cada afirmativa (sem resolver ainda), para não nos perdermos:
- I — A densidade planar para a estrutura CFC no plano
apresentou valor de átomos/ , sendo considerado a área ocupada por 2 átomos. - II — A densidade linear para a direção
da estrutura CCC (Fe , BCC) apresentou valor de átomos/ , sendo considerado a área ocupada por 1 átomo. - III — Ao comparar a densidade planar do plano
com a do plano para estrutura CFC, observou‑se para o novo plano o valor de (interpreto isto como a razão ou similar).
Meu objetivo: calcular corretamente as densidades (em forma simbólica e quando necessário numericamente) e checar se cada afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (aulas rápidas):
- Densidade planar (DP): é o número de átomos cujos centros estão exatamente contidos em um plano cristalográfico, dividido pela área desse plano considerada (geralmente a área do primeiro reticulado bidimensional primitivo do plano). Em fórmula:
onde
é a contribuição efetiva de átomos por célula de superfície (contando frações de átomos que ficam em bordas/centros) e
é a área da célula de superfície primitiva.
- Densidade linear (DL): é o número de átomos cujos centros estão situados ao longo de uma direção cristalográfica, por unidade de comprimento ao longo do segmento repetitivo mais curto dessa direção. Em fórmula:
onde
é o comprimento do menor segmento que se repete ao longo da direção considerada e
é a contribuição efetiva de átomos dentro desse segmento (contando compartilhamentos).
Vou trabalhar em termos do parâmetro de rede cúbica
(lado da célula cúbica). Sempre que fizer cálculo numérico para Fe
(CCC/BCC) usarei o valor conhecido:
Passo 3
Cálculo da DP para CFC no plano
(passo a passo com contagem de átomos).
Geometria e reticulado superficial:
- No CFC, os átomos ocupam os vértices e os centros das faces. O plano
tem uma rede superficial retangular. Dois vetores in‑plane convenientes são: - direção
com comprimento ; - direção
(no plano) com comprimento igual ao espaçamento entre vizinhos projetados nessa direção, que resulta em .
- direção
- Portanto a célula primitiva bidimensional do plano
tem área
Contagem de átomos por célula de superfície:
- Ao inspecionar a rede superficial (arranjo retangular), a célula primitiva do plano
contém, efetivamente, uma contribuição de átomo por célula superficial (as partes de átomos em vértices/contatos dão contribuição total equivalente a 1 átomo por célula primitiva). Logo .
Logo a densidade planar teórica (em função de
) é
Observação importante (didática e crucial para checar a afirmativa I): a célula primitiva superficial do plano
tem contribuição efetiva de
átomo, não de
. Portanto a parte da afirmativa I que diz “sendo considerado a área ocupada por 2 átomos” está conceitualmente incorreta.
Passo 4
Cálculo da DP para CFC no plano
(para comparar com o
).
Geometria do plano
:
- O plano
em CFC é o plano mais densamente embalado (hexagonal). O espaçamento entre vizinhos na superfície (distância entre vizinhos mais próximos na malha hexagonal) é (mesma distância de vizinhança do reticulado FCC). - A área da célula primitiva 2D no plano hexagonal é
- A célula primitiva 2D do plano
contém um átomo (contribuição efetiva ). Portanto
Passo 5
Comparação das duas densidades (razão) — analítica e numérica aproximada.
Razão
:
Calculemos numericamente:
Interpretação:
é cerca de
vezes
. Portanto qualquer afirmação que diga que a razão é
está errada. Assim a afirmativa III (que afirma razão
) é falsa.
Passo 6
Verificação numérica rápida do valor absoluto da DP
e checagem da afirmação I (valor dado
).
A expressão simbólica é
. Para ver ordem de grandeza, escolha um
típico de metais CFC (por exemplo cobre
). Com esse
:
Note que este valor (ordem
) é muito maior que
alegado na afirmativa I. Mesmo variando
por fatores modestos, a ordem de grandeza da DP fica em
–
para parâmetros de rede típicos — portanto o número
é incompatível com a expressão real
a menos que se assumisse um
absurdamente grande (o que não corresponde a uma estrutura cristalina metálica real). Além disso, como já demonstrado no Passo 3, a célula superficial considerada tem contribuição efetiva de
átomo, não
. Conclusão: a afirmativa I é falsa.
Passo 7
Cálculo da densidade linear (DL) para a direção
em CCC/BCC (checagem da afirmativa II).
Geometria e contagem:
- Em BCC, as posições de rede são nos vértices
e no centro do cubo . - Considere a direção
partindo de um canto . O próximo nó de rede ao longo dessa direção ocorre em que é equivalente a um canto na célula adjacente; a distância entre esses nós é o comprimento do vetor vezes , ou seja . - Entre esses nós não existe um átomo adicional cujo centro esteja exatamente sobre a linha (o átomo do centro de célula
não está sobre essa linha porque tem enquanto a linha tem ). Portanto, em um segmento repetitivo de comprimento existem dois vértices (nas extremidades), mas cada vértice é compartilhado entre dois segmentos adjacentes; a contribuição efetiva por segmento é . - Assim
Cálculo numérico para o ferro alfa (Fe
, BCC) com
:
Compare com a afirmativa II que dá
. O valor correto (usando o parâmetro de rede conhecido para Fe
) é cerca de
, não
. Além disso a frase “sendo considerado a área ocupada por 1 átomo” não faz sentido para DL (fala em área numa grandeza linear) — a contagem correta que usamos foi
átomo por segmento repetitivo, mas isso não justifica o número fornecido na afirmativa. Portanto a afirmativa II é falsa.
Passo 8
Resumo das verificações (motivos curtos):
- I — Falsa. Fórmula correta
. A célula superficial primitiva tem contribuição efetiva átomo (não 2) e o valor numérico informado é incompatível com a expressão para parâmetros de rede reais. - II — Falsa. Fórmula correta para BCC em
: . Para Fe com obtém‑se , não . - III — Falsa. Razão correta
, não .
Resposta
e) NDA (Nenhuma das alternativas anteriores)