QUESTÃO 06: A corrente AB exerce uma força de 20 lb na porta em B. Determine a intensidade do momento dessa força ao longo do eixo X na porta.
(A) \mathbf{4 8 , 5} \mathbf{~ l b} pés
(B) \mathbf{4 2 , 6} \mathbf{~ l b} pés
(C) \mathbf{3 3 , 8} lb pés
(D) \mathbf{5 6 , 3} \mathrm{lb} pés
(E) \mathbf{4 4 , 4} \mathbf{~ l b} pés

Passo 1

O enunciado (como fornecido) dá e pede o seguinte:
  • Dá: a corrente AB exerce uma força de 20 lb em B.
  • Pede: a intensidade do momento dessa força ao longo do eixo X na porta (ou seja, o momento em relação ao eixo x que atravessa a porta).
    Informações relevantes que o enunciado não fornece (e que são necessárias para um cálculo numérico):
  • A posição do ponto B em coordenadas (ou a posição do eixo x da porta e a posição de B relativa a esse eixo).
  • A direção da força aplicada em B (a linha de ação ou suas componentes). Só foi dada a magnitude 20 lb, não a sua orientação.
  • O ponto de referência do eixo x (por exemplo: o eixo x passa pelo dobradiça e pela origem? qual é a posição da origem?).
    Sem a figura ou esses dados (coordenadas/ângulos/linha de ação), faltam elementos essenciais para obter numericamente o momento pedido.

Passo 2

O que significa “momento de uma força ao longo do eixo X” — a ferramenta matemática:
  • O momento (vetorial) da força em relação a um ponto é \mathbf{M}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}, onde:
    • \mathbf{r} é o vetor posição do ponto de referência (no nosso caso, um ponto qualquer do eixo x, tipicamente a origem ou a dobradiça) até o ponto de aplicação B;
    • \mathbf{F} é a força aplicada em B.
  • O momento ao longo do eixo x é a componente do momento vetorial na direção do eixo x. Em símbolos:
M_x = (\mathbf{r}\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{x}}
onde \hat{\mathbf{x}} é o versor unitário do eixo x.
  • Outra maneira prática (quando a linha de ação da força e a distância perpendicular ao eixo são conhecidas):
M_x = F\,d_\perp
onde d_\perp é a distância perpendicular entre o eixo x e a linha de ação da força, e F é a intensidade da força. O sinal de M_x depende do sentido (rotacional) definido positivo para o eixo.

Passo 3

Como calcular em coordenadas (fórmula operacional):
  • Supondo que se conheçam as componentes
    \mathbf{r} = (r_x,r_y,r_z) e \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z),
\mathbf{r}\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] r_x & r_y & r_z\\[4pt] F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}
  • A componente x desse produto vetorial (isto é, M_x) é
M_x = r_y F_z - r_z F_y.
Explicando cada termo:
  • r_y é a coordenada y do vetor posição (distância ao longo de y);
  • r_z é a coordenada z do vetor posição;
  • F_y e F_z são as componentes da força nas direções y e z.
    Portanto, para obter M_x é suficiente conhecer as componentes r_y, r_z, F_y, F_z. Note que r_x e F_x não aparecem na fórmula de M_x.]

Passo 4

Como obter \mathbf{r} e \mathbf{F} a partir da figura (o que procurar na figura):
  • Escolher um ponto O sobre o eixo x (normalmente a dobradiça/centro da porta). Medir/ler as coordenadas de B relativamente a O. Então \mathbf{r}=\overrightarrow{OB}.
  • Ler/identificar a direção da força: pode vir dada por uma reta (linha de ação) ou por um vetor com componentes. Converter essa direção em componentes (F_x,F_y,F_z) normalizadas e multiplicar por 20 lb para obter a força completa.
  • Se a figura mostrar apenas distâncias perpendiculares, pode-se calcular d_\perp (distância entre eixo x e linha de ação) e usar M_x = F d_\perp.

Passo 5

Exemplo numérico didático (hipotético) para ver o procedimento passo a passo:
  • Suponha, só como exemplo, que o eixo x passa pela origem O, que o ponto B tem coordenadas \mathbf{r}=(0,3,4) pés medidos a partir de O, e que a força de 20 lb tem direção só no sentido negativo de y, isto é \mathbf{F}=(0,-20,0) lb. (ATENÇÃO: estes números são um exemplo inventado para mostrar o cálculo — não pertencem ao enunciado recebido.)
  • Calcular M_x por
M_x = r_y F_z - r_z F_y = 3\cdot 0 - 4\cdot(-20) = 80\\ \text{lb·ft}.
  • Interpretação: o momento em torno do eixo x seria 80 lb·ft (com sinal que indica sentido). Esse valor é um exemplo e mostra que conhecer apenas a magnitude da força não é suficiente; precisa-se da direção e da posição.

Passo 6

Resumo do método que você usará na prova (passos práticos quando tiver a figura):
  1. Identificar o ponto O sobre o eixo x (origem de referência).
  2. Determinar \mathbf{r}=\overrightarrow{OB} (coordenadas de B em relação a O).
  3. Determinar \mathbf{F} (componentes ou direção multiplicada por 20 lb).
  4. Calcular M_x = (\mathbf{r}\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{x}} = r_y F_z - r_z F_y.
  5. Ou, se der mais fácil pela figura, calcular a distância perpendicular d_\perp entre o eixo x e a linha de ação da força e usar M_x = F d_\perp.
    Dica prática: sempre desenhe o vetor \mathbf{r} e a força, identifique as projeções r_y,r_z e F_y,F_z — a fórmula M_x = r_y F_z - r_z F_y é muito rápida na prova.

Passo 7

Conclusão sobre a questão dada:
  • Com os dados realmente fornecidos na pergunta (apenas “força de 20 lb em B pela corrente AB”), não há informação suficiente para calcular numericamente M_x. Faltam a direção da força e a posição de B (ou a distância perpendicular da linha de ação ao eixo x).
  • Portanto não é possível escolher entre as alternativas listadas sem a figura ou as coordenadas/ângulos complementares.

Resposta

Não é possível determinar numericamente M_x com os dados fornecidos — falta a figura ou as coordenadas/linha de ação da força.

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