Um poste curto, de 1 m de comprimento, é construído de um tubo circular vazado de alumínio e suporta uma carga de 240 kN . Os diâmetros interno e externo do tubo são 90 mm e 130 mm , respectivamente. Por ação da carga, o encurtamento do poste é de 0,55 \mathrm{~mm}. Determine a tensão (em MPa) e a deformação no poste ( \mathrm{em} \mu \mathrm{m} / \mathrm{m} ).
Qual é o comprimento final em mm?

Passo 1

O enunciado dá um poste de comprimento 1\\ \text{m} (após isto vou converter para mm), feito de tubo circular vazado, que suporta uma carga de 240\\ \text{kN}. Os diâmetros interno e externo do tubo são 90\\ \text{mm} e 130\\ \text{mm}. O encurtamento causado pela carga é \,0,55\\ \text{mm}.
As perguntas são:
  • Determinar a tensão no poste (em \text{MPa}).
  • Determinar a deformação no poste (em \mu\text{m}/\text{m}).
  • Determinar o comprimento final (em \text{mm}).
Dados extraídos do enunciado:
L_0 = 1\\ \text{m} = 1000\\ \text{mm},
F = 240\\ \text{kN} = 240000\\ \text{N},
D_i = 90\\ \text{mm},\qquad D_o = 130\\ \text{mm},
\Delta L = 0,55\\ \text{mm}.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal do tubo (área de anel). A fórmula para a área de uma seção circular vazada usando diâmetros é
A = \frac{\pi}{4}\left(D_o^{2}-D_i^{2}\right).
Substituindo os valores:
A = \frac{\pi}{4}\left(130^{2}-90^{2}\right)\\ \text{mm}^{2}.
Calcule as potências e a diferença:
130^{2}=16900,\qquad 90^{2}=8100,\qquad 16900-8100=8800.
Portanto
A = \frac{\pi}{4}\cdot 8800 = 2200\pi\\ \text{mm}^{2}\approx 6911{,}5038\\ \text{mm}^{2}.
Comentário didático rápido: aqui foi usada a área de anel porque o tubo é vazado; converter para mm² é conveniente porque 1\\ \text{N}/\text{mm}^{2}=1\\ \text{MPa}, o que simplifica unidades de tensão.

Passo 3

Calcular a tensão normal média \sigma. Definição: tensão média (ou nominal) é a força dividida pela área:
\sigma=\frac{F}{A}.
Substituindo F=240000\\ \text{N} e A=2200\pi\\ \text{mm}^{2}:
\sigma=\frac{240000}{2200\pi}\\ \frac{\text{N}}{\text{mm}^{2}}.
Como 1\\ \text{N}/\text{mm}^{2}=1\\ \text{MPa}, o valor numérico em \text{MPa} é
\sigma\approx\frac{240000}{2200\pi}\approx 34{,}71\\ \text{MPa}.
Explicação didática: dividir força pela área dá a pressão média que a força aplica na seção; expressar em \text{N}/\text{mm}^{2} permite ler o resultado diretamente em \text{MPa}.

Passo 4

Calcular a deformação (strain) \varepsilon. Definição de deformação axial unidimensional (engenharia):
\varepsilon=\frac{\Delta L}{L_{0}}.
Substituindo \Delta L=0,55\\ \text{mm} e L_{0}=1000\\ \text{mm}:
\varepsilon=\frac{0,55}{1000}=0{,}00055\quad\text{(adimensional)}.
Converter para \mu\text{m}/\text{m} (microstrain): 1\\ \mu\text{m}/\text{m}=10^{-6} (adimensional), logo multiplicar por 10^{6}:
\varepsilon = 0{,}00055\times 10^{6}=550\\ \mu\text{m}/\text{m}.
Comentário didático: expressar em \mu\text{m}/\text{m} é só outra forma prática de dizer quantos micrômetros o corpo se deforma por metro de comprimento.

Passo 5

Calcular o comprimento final L_f. Fórmula:
L_{f}=L_{0}-\Delta L.
Substituindo:
L_{f}=1000-0,55=999{,}45\\ \text{mm}.

Passo 6

Resumo e interpretação rápida (para a prova): as fórmulas essenciais usadas foram
A=\frac{\pi}{4}\left(D_o^{2}-D_i^{2}\right),\qquad \sigma=\frac{F}{A},\qquad \varepsilon=\frac{\Delta L}{L_{0}},\qquad L_{f}=L_{0}-\Delta L.
Guarde que \,1\\ \text{N}/\text{mm}^{2}=1\\ \text{MPa} e que para converter deformação adimensional em \mu\text{m}/\text{m} multiplica-se por 10^{6}. Vai bem na prova — lembra de mostrar as conversões de unidades como fiz aqui.

Resposta

\sigma = 34{,}71\\ \text{MPa}
\varepsilon = 550\\ \mu\text{m}/\text{m}
L_{f} = 999{,}45\\ \text{mm}

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