Questão 06: Determine se o sistema abaixo é: (i) causal, (ii) com memoria e (iii) estável. Justifique a resposta.
c) h(t)=3 \delta(t)

Passo 1

O enunciado pede que eu determine, para o sistema dado pelo impulso h(t)=3\delta(t), se ele é:
  • (i) causal;
  • (ii) com memória (ou seja, se é com memória ou sem memória);
  • (iii) estável.
As informações que temos (diretamente do enunciado) são:
  • A função impulso do sistema é \displaystyle h(t)=3\delta(t), onde \delta(t) é a função delta de Dirac.

Passo 2

Definição e teste de causalidade (conceito e aplicação).
  • Definição: um sistema é causal se a saída em um tempo t_0 depende apenas dos valores da entrada em instantes t\le t_0. Para sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) isso equivale a exigir que a resposta ao impulso satisfaça \displaystyle h(t)=0 para todo t<0. Em palavras: não pode haver “efeito” antes da causa.
  • Propriedade da delta: \delta(t) tem suporte em t=0, ou seja, \delta(t)=0 para todo t\neq0. Em particular, para t<0 temos \delta(t)=0.
  • Aplicando ao nosso h(t): \displaystyle h(t)=3\delta(t)=0 para todo t<0. Portanto o sistema não responde antes do tempo 0.
    Conclusão parcial: o sistema é causal.

Passo 3

Definição e teste de memória (sem memória vs com memória).
  • Definição: um sistema é sem memória (memoryless) se, para cada t, a saída y(t) depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante x(t); não depende de valores passados nem futuros da entrada. Para sistemas LTI isso ocorre exatamente quando a resposta ao impulso é proporcional a uma delta concentrada em zero: h(t)=K\delta(t) leva a um sistema sem memória.
  • Justificativa via convolução: para um sistema LTI a saída é a convolução
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Substituindo h(\tau)=3\delta(\tau) e usando a propriedade da delta \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau = x(t), obtemos
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}3\delta(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau = 3x(t).
  • Aqui a saída em t depende somente de x(t), multiplicada por 3 — não depende de x em outros tempos.
    Conclusão parcial: o sistema é sem memória (não tem memória).

Passo 4

Definição e teste de estabilidade (BIBO estabilidade) com cálculo.
  • Definição: um sistema é BIBO-estável (estável no sentido entrada limitada → saída limitada) se uma entrada limitada (isto é, existe M_x tal que |x(t)|\le M_x para todo t) sempre gera uma saída limitada (isto é, existe M_y com |y(t)|\le M_y para todo t). Para sistemas LTI existe um critério simples e prático: o sistema é BIBO-estável se e somente se a resposta ao impulso for absolutamente integrável:
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty.
  • Aplicação ao caso: h(t)=3\delta(t). Então
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = \int_{-\infty}^{\infty} |3\delta(t)|\,dt = 3\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt = 3\cdot 1 = 3,
pois \delta(t) é não-negativa em sentido de distribuição e \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt=1.
  • O valor obtido é finito ( 3), logo a condição de BIBO estabilidade é satisfeita.
  • Alternativa direta pela expressão da saída: como vimos y(t)=3x(t). Se |x(t)|\le M_x então |y(t)|=3|x(t)|\le 3M_x, ou seja, a saída também é limitada — mesma conclusão prática.
    Conclusão parcial: o sistema é estável (BIBO-estável).

Passo 5

Resumo intuitivo (lembrete prático para a prova).
  • Sistemas LTI com h(t)=K\delta(t) são justamente os casos simples que correspondem a multiplicação instantânea y(t)=Kx(t). Esses são sempre causais (impulso suportado em t\ge0), sem memória (dependência só de x(t)) e estáveis se |K|<\infty (porque \int|K\delta(t)|dt=|K|).
  • No nosso caso K=3, finalizando as três propriedades.

Resposta

(i) Causal
(ii) Sem memória
(iii) Estável

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