Questão 06: Determine se o sistema abaixo é: (i) causal, (ii) com memoria e (iii) estável. Justifique a resposta.
c)
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Passo 1
O enunciado pede que eu determine, para o sistema dado pelo impulso
, se ele é:
- (i) causal;
- (ii) com memória (ou seja, se é com memória ou sem memória);
- (iii) estável.
As informações que temos (diretamente do enunciado) são:
- A função impulso do sistema é
, onde é a função delta de Dirac.
Passo 2
Definição e teste de causalidade (conceito e aplicação).
- Definição: um sistema é causal se a saída em um tempo
depende apenas dos valores da entrada em instantes . Para sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) isso equivale a exigir que a resposta ao impulso satisfaça para todo . Em palavras: não pode haver “efeito” antes da causa. - Propriedade da delta:
tem suporte em , ou seja, para todo . Em particular, para temos . - Aplicando ao nosso
: para todo . Portanto o sistema não responde antes do tempo .
Conclusão parcial: o sistema é causal.
Passo 3
Definição e teste de memória (sem memória vs com memória).
- Definição: um sistema é sem memória (memoryless) se, para cada
, a saída depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante ; não depende de valores passados nem futuros da entrada. Para sistemas LTI isso ocorre exatamente quando a resposta ao impulso é proporcional a uma delta concentrada em zero: leva a um sistema sem memória. - Justificativa via convolução: para um sistema LTI a saída é a convolução
Substituindo
e usando a propriedade da delta
, obtemos
- Aqui a saída em
depende somente de , multiplicada por 3 — não depende de em outros tempos.
Conclusão parcial: o sistema é sem memória (não tem memória).
Passo 4
Definição e teste de estabilidade (BIBO estabilidade) com cálculo.
- Definição: um sistema é BIBO-estável (estável no sentido entrada limitada → saída limitada) se uma entrada limitada (isto é, existe
tal que para todo ) sempre gera uma saída limitada (isto é, existe com para todo ). Para sistemas LTI existe um critério simples e prático: o sistema é BIBO-estável se e somente se a resposta ao impulso for absolutamente integrável:
- Aplicação ao caso:
. Então
pois
é não-negativa em sentido de distribuição e
.
- O valor obtido é finito (
), logo a condição de BIBO estabilidade é satisfeita. - Alternativa direta pela expressão da saída: como vimos
. Se então , ou seja, a saída também é limitada — mesma conclusão prática.
Conclusão parcial: o sistema é estável (BIBO-estável).
Passo 5
Resumo intuitivo (lembrete prático para a prova).
- Sistemas LTI com
são justamente os casos simples que correspondem a multiplicação instantânea . Esses são sempre causais (impulso suportado em ), sem memória (dependência só de ) e estáveis se (porque ). - No nosso caso
, finalizando as três propriedades.
Resposta
(i) Causal
(ii) Sem memória
(iii) Estável
(ii) Sem memória
(iii) Estável