Questão 07: Uma densidade volumétrica de carga \rho_{v}=k / r C / m^{3} existe em uma região esférica a \leq r \leq b. Determine: (a) a carga total contida no volume; (b) o vetor campo elétrico em todas as regiões.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade volumétrica de carga esfericamente simétrica
\rho_{v}(r)=\frac{k}{r}
válida na casca a\le r\le b e nula fora.
Queremos (a) a carga total Q_{\text{tot}} na região a\le r\le b e (b) o campo elétrico \mathbf E(r) em todas as regiões de r.
Usaremos coordenadas esféricas e a Lei de Gauss:
\oint_S\mathbf E\cdot d\mathbf A=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}
com simetria esférica, de modo que \mathbf E=E(r)\,\hat r.

Passo 2

Calcular a carga total
Q_{\text{tot}}=\int_{V}\rho_{v}\,dV =\int_{r=a}^{b}\!\int_{\theta=0}^{\pi}\!\int_{\varphi=0}^{2\pi} \frac{k}{r}\,(r^2\sin\theta)\,d\varphi\,d\theta\,dr.
Integrando em \theta,\varphi obtemos fator 4\pi, logo
Q_{\text{tot}} =4\pi k\int_{a}^{b}r\,dr =4\pi k\left[\frac{r^2}{2}\right]_{a}^{b} =2\pi k\bigl(b^2-a^2\bigr).

Passo 3

Campo elétrico para r<a
Nesta região não há carga interna, pois toda ρ está fora de r<a. Assim,
Q_{\text{int}}(r<a)=0 \quad\Longrightarrow\quad E(r)=0 \quad\Rightarrow\quad \mathbf E(r)=\mathbf0\quad(r<a).

Passo 4

Campo elétrico para a\le r\le b
A carga interna até raio r é
Q_{\text{int}}(r) =4\pi k\int_{a}^{r}r'\,dr' =2\pi k\bigl(r^2-a^2\bigr).
Pela Lei de Gauss em superfície esférica de raio r:
E(r)\,(4\pi r^2)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_0} =\frac{2\pi k(r^2-a^2)}{\varepsilon_0},
logo
E(r) =\frac{k\,(r^2-a^2)}{2\varepsilon_0\,r^2},
e
\mathbf E(r) =\frac{k\,(r^2-a^2)}{2\varepsilon_0\,r^2}\,\hat r \quad(a\le r\le b).

Passo 5

Campo elétrico para r>b
Toda a carga Q_{\text{tot}}=2\pi k(b^2-a^2) está dentro do raio r>b. Pela Lei de Gauss:
E(r)\,(4\pi r^2) =\frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_0} =\frac{2\pi k(b^2-a^2)}{\varepsilon_0},
logo
E(r) =\frac{k\,(b^2-a^2)}{2\varepsilon_0\,r^2},
e
\mathbf E(r) =\frac{k\,(b^2-a^2)}{2\varepsilon_0\,r^2}\,\hat r \quad(r>b).

Resposta

(a) Q_{\text{tot}}=2\pi k\bigl(b^2-a^2\bigr).
(b) \mathbf E(r)= \begin{cases} \mathbf0, & r<a,\\[6pt] \dfrac{k\,(r^2-a^2)}{2\varepsilon_0\,r^2}\,\hat r, & a\le r\le b,\\[6pt] \dfrac{k\,(b^2-a^2)}{2\varepsilon_0\,r^2}\,\hat r, & r>b. \end{cases}]

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