Questão 08: Duas distribuições lineares de carga são colocadas sobre o eixo y do sistema de coordenadas retangulares e na direção do eixo x. A primeira distribuição é \rho_{1}=5 \mu C / m e é colocada em (0,2 m, 0). A segunda distribuição de cargas é \rho_{2}= -10 \mu C / m e é colocada em (0,-3 m, 0). Determine a tensão em (0,0,5 m) em relação à (0,0,0).

Passo 1

O enunciado coloca duas distribuições lineares infinitas de carga paralelas ao eixo x, localizadas em (y,z)=(2\,\text{m},0) com densidade \rho_{1}=5\:\mu\text{C}/\text{m} e em (y,z)=(-3\,\text{m},0) com \rho_{2}=-10\:\mu\text{C}/\text{m}. Pede-se a diferença de potencial (tensão) entre o ponto P=(0,0,5\,\text{m}) e a origem O=(0,0,0). Vamos usar a expressão do potencial gerado por uma linha de carga infinita
V(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{0}}{r}\bigr),
e notar que a diferença de potencial entre dois pontos A e B independe de r_{0}:
V(A)-V(B)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{B}}{r_{A}}\bigr).

Passo 2

Calcular as distâncias perpendiculares da linha 1 ( \lambda_{1}=5\times10^{-6}\,\text{C/m}) até os pontos P e O. Como a linha está em (y,z)=(2,0),
r_{P1}=\sqrt{(y_{P}-2)^{2}+(z_{P}-0)^{2}} =\sqrt{(0-2)^{2}+(5-0)^{2}}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\,\text{m},
r_{O1}=\sqrt{(0-2)^{2}+(0-0)^{2}}=2\,\text{m}.

Passo 3

Calcular as distâncias perpendiculares da linha 2 ( \lambda_{2}=-10\times10^{-6}\,\text{C/m}) até P e O. A linha 2 está em (y,z)=(-3,0),
r_{P2}=\sqrt{(0+3)^{2}+(5-0)^{2}}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\,\text{m},
r_{O2}=\sqrt{(-3-0)^{2}+(0-0)^{2}}=3\,\text{m}.

Passo 4

Escrever a contribuição de cada linha para
V(P)-V(O) =\sum_{i=1}^{2}\frac{\lambda_{i}}{2\pi\varepsilon_{0}} \ln\!\bigl(\tfrac{r_{O\,i}}{r_{P\,i}}\bigr).
Substituindo \lambda_{1}=5\times10^{-6}\,\text{C/m}, r_{O1}=2, r_{P1}=\sqrt{29} e \lambda_{2}=-10\times10^{-6}\,\text{C/m}, r_{O2}=3, r_{P2}=\sqrt{34},
V(P)-V(O) =\frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}}\Bigl[ 5\times10^{-6}\ln\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{29}}\bigr) -10\times10^{-6}\ln\!\bigl(\tfrac{3}{\sqrt{34}}\bigr) \Bigr].

Passo 5

Fazer a conta numérica. Usando \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\,\text{F/m}:
5\times10^{-6}\ln\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{29}}\bigr)\approx5\times10^{-6}\times(-0{,}9914)=-4{,}957\times10^{-6},
-10\times10^{-6}\ln\!\bigl(\tfrac{3}{\sqrt{34}}\bigr)\approx-10\times10^{-6}\times(-0{,}6646)=+6{,}646\times10^{-6},
soma interna \approx1{,}689\times10^{-6}. Então
V(P)-V(O) \approx\frac{1{,}689\times10^{-6}}{2\pi\,(8{,}854\times10^{-12})} \approx3,04\times10^{4}\,\text{V}.

Resposta

A tensão entre (0,0,5\,\text{m}) e (0,0,0) é aproximadamente
3,04\times10^{4}\,\text{V}.

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