QUESTÃO 07

No interior de uma determinada impressora, um feixe de laser atinge um cilindro fotorreceptor e cria o padrão de imagem a ser impresso. Enquanto o cilindro gira, as regiões correspondentes à imagem a ser impressa ficam carregadas negativamente. Em seguida, essas regiões atraem o toner, um pó fino e pigmentado carregado positivamente. Por fim, a imagem formada pelo toner é transferida ao papel eletrostaticamente. Para que o toner seja efetivamente atraído pela folha de papel, a densidade superficial de cargas na superfície dela deve ser
(A) negativa e igual à das regiões do cilindro.
B negativa e maior que à das regiões do cilindro.
© positiva e igual à das regiões do cilindro.
(D positiva e maior que à das regiões do cilindro.
(E) positiva e menor que à das regiões do cilindro.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e perguntas:
  • Há um cilindro fotorreceptor cuja superfície tem regiões carregadas negativamente. (Peguei isso do enunciado.)
  • O toner é um pó fino carregado positivamente. (Peguei isso do enunciado.)
  • A imagem formada pelo toner deve ser transferida ao papel eletrostaticamente.
  • A pergunta implícita: qual deve ser o sinal e a relação da densidade superficial de carga na superfície do papel para que o toner (positivo) seja efetivamente atraído pela folha de papel?
  • As alternativas possíveis são:
    • (A) negativa e igual à das regiões do cilindro.
    • (B) negativa e maior que à das regiões do cilindro.
    • (C) positiva e igual à das regiões do cilindro.
    • (D) positiva e maior que à das regiões do cilindro.
    • (E) positiva e menor que à das regiões do cilindro.

Passo 2

Conceitos básicos (mini-aula): força elétrica entre cargas e campo elétrico.
  • Força entre duas cargas pontuais: a Lei de Coulomb diz que a magnitude da força elétrica entre duas cargas q_1 e q_2, separadas por uma distância r, é
F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2},
onde k é a constante eletrostática ( k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}). Explicando as variáveis: q_1,q_2 são as cargas em coulombs, r é a distância entre elas, e F é a força em newtons. O sinal da força (atração ou repulsão) depende dos sinais das cargas: cargas de sinais opostos se atraem; de mesmo sinal se repelem.
  • Campo elétrico produzido por uma superfície carregada: para uma superfície carregada com densidade superficial de carga \sigma (coulomb por metro quadrado), o campo elétrico próximo a uma placa extensa e aproximadamente plana é proporcional a \sigma. Para uma placa infinita com densidade \sigma o módulo do campo fora da placa é
E = \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Aqui E tem direção afastando-se da superfície se \sigma>0 e apontando para a superfície se \sigma<0. (Não é preciso memorizarmos a constante exata para justificar o raciocínio qualitativo: o importante é que E cresce com |\sigma|.)
  • Força sobre uma carga q imersa num campo elétrico E vale
\vec{F} = q\vec{E}.
Isso significa que um campo produzido por uma superfície com densidade \sigma exerce uma força sobre o toner proporcional a q e a \sigma.

Passo 3

Aplicando os conceitos ao problema (qual direção a força deve ter).
  • O toner tem carga positiva q_{t}>0 (dado).
  • As regiões do cilindro têm carga negativa, digamos densidade \sigma_{c}<0 (dado).
  • Para que o papel atraia o toner, o campo elétrico produzido pelo papel na região do toner deve exercer uma força direcionada do toner para o papel. Como a força é \vec{F}=q_{t}\vec{E}_{papel}, e q_{t}>0, a direção da força coincide com a direção do campo \vec{E}_{papel}. Para que essa força seja de atração (puxar o toner em direção ao papel), o campo do papel, na posição do toner, deve apontar no sentido do papel — isso ocorre se a superfície do papel tiver carga de sinal oposto ao sinal do toner, ou seja, carga negativa. Logo, o papel precisa ser carregado negativamente. Isso elimina todas as alternativas com papel positivo (\text{C},\text{D},\text{E}).

Passo 4

Por que não basta o papel ter carga negativa igual à do cilindro? comparação das forças.
  • O toner está inicialmente “presa” ao cilindro porque o cilindro negativo produz um campo que mantém o toner na superfície do cilindro.
  • Para que o toner se desprenda do cilindro e vá para o papel, a atração elétrica exercida pelo papel sobre o toner deve ser, líquido, maior do que a atração que mantém o toner no cilindro. Em termos simplificados, a magnitude da força exercida pelo papel F_{papel} deve superar a magnitude da força do cilindro F_{cil}.
  • Usando F = q_{t}E e lembrando que o campo E gerado por uma superfície cresce com a magnitude da densidade \sigma, obtemos a condição qualitativa
|E_{papel}| > |E_{cil}\!|, \qquad\text{ou equivalentemente}\qquad |\sigma_{papel}| > |\sigma_{cil}|.
Como ambos devem ser negativos para atrair cargas positivas, isto é \sigma_{papel}<0 e \sigma_{cil}<0, a condição numérica fica: a densidade superficial de carga do papel deve ser negativa e de maior magnitude (mais negativa) do que a do cilindro.

Passo 5

Checando as alternativas com o raciocínio final.
  • (A) negativa e igual → com cargas iguais a atração do papel não venceria a atração do cilindro: toner não seria transferido facilmente. Não serve.
  • (B) negativa e maior → papel negativo com maior magnitude produz atração maior que a do cilindro: toner é puxado para o papel. Essa é a condição correta.
  • (C),(D),(E) papel positivo → papel positivo repelia o toner positivo, portanto não atrairia o toner. Todas incorretas.

Resposta

(B) negativa e maior que à das regiões do cilindro.

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