Questão 07 -

Um objeto de massa M, preso a uma mola ideal, realiza uma oscilação livre de frequência f. Em um determinado instante, um segundo objeto de massa m é fixado ao primeiro. Verifica-se que o sistema tem sua frequência de oscilação reduzida de \Delta f, muito menor que f. Sabendo que (1+x)^{n} \approx 1+n x, para |x| \ll 1, pode-se afirmar que f é dada por
b) \frac{\sqrt{2} M \Delta f}{2 m}.
c) \frac{M \Delta f}{m}.
d) \frac{\sqrt{2} M \Delta f}{m}.
e) \frac{2 M \Delta f}{m}.
a) \frac{M \Delta f}{2 m}.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa–mola ideal de constante elástica k e massa M, que oscila com frequência
f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M}}.
Em certo instante, prende-se uma segunda massa m à primeira, passando a oscilar com frequência reduzida de \Delta f, onde \Delta f\ll f. Queremos determinar f em função de M, m e \Delta f, usando a aproximação (1+x)^{n}\approx1+n x para \lvert x\rvert\ll1.

Passo 2

Após adicionar m, a nova frequência é
f'=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{M+m}}.
Como antes f=\tfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/M}, podemos escrever
f' = f\;\sqrt{\frac{M}{M+m}} = f\;\sqrt{\frac{1}{1+\tfrac{m}{M}}}.

Passo 3

Para \tfrac{m}{M}\ll1, usamos \sqrt{1+x}\approx1+\tfrac{x}{2} com x=-\tfrac{m}{M}. Assim
\sqrt{\frac{1}{1+\tfrac{m}{M}}} =\bigl(1+\tfrac{m}{M}\bigr)^{-1/2} \approx1-\frac{1}{2}\,\frac{m}{M}.
Logo
f'\approx f\Bigl(1-\frac{m}{2M}\Bigr).

Passo 4

A redução de frequência é \Delta f=f-f'. Substituindo a aproximação:
\Delta f \approx f - f\Bigl(1-\frac{m}{2M}\Bigr) =f\;\frac{m}{2M}.
Isolando f fica
f\approx\frac{2M}{m}\,\Delta f.

Resposta

A alternativa correta é
\boxed{\frac{2M\,\Delta f}{m}},
que corresponde à opção (e).

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