Questão 08. No interferômetro de Michelson usado para medir a velocidade da luz, suponha que a diferença de caminho cause uma interferência destrutiva. Se a diferença de percurso for 1,25 \lambda, determine o valor de m para \lambda=589 \mathrm{~nm}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Foi dada uma diferença de percurso (diferença de caminho) igual a 1{,}25\,\lambda.
  • A fonte tem comprimento de onda \lambda=589\\ \mathrm{nm} (esse dado serve para calcular a diferença de percurso em unidades físicas, se quisermos).
  • Pede-se determinar o valor de m associado à condição de interferência destrutiva no interferômetro de Michelson.

Passo 2

Entendendo a condição de interferência (aula curta e direta).
  • Quando dois feixes se recombinam, o que importa é a diferença de fase entre eles. A diferença de fase \varphi está relacionada à diferença de percurso \Delta por
\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta.
Aqui \varphi é em radianos, \lambda é o comprimento de onda e \Delta é a diferença de percurso (distância extra percorrida por um feixe em relação ao outro).
  • Interferência destrutiva ocorre quando as ondas chegam fora de fase por um semiperíodo ímpar, ou seja quando a diferença de fase é (2m+1)\pi, com m inteiro. Assim
\varphi = (2m+1)\pi.
  • Igualando as duas expressões para \varphi obtemos a condição usual em termos de diferença de percurso:
\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta = (2m+1)\pi \quad\Longrightarrow\quad \Delta = \frac{2m+1}{2}\,\lambda.
  • Nessa fórmula: \Delta é a diferença de percurso (em metros, ou em múltiplos de \lambda), \lambda é o comprimento de onda, e m é um número inteiro que indexa as ordens dos mínimos (normalmente espera-se m\in\{0,1,2,\dots\}).

Passo 3

Aplicando a condição ao dado do enunciado.
  • O enunciado diz que a diferença de percurso é \Delta = 1{,}25\,\lambda. Igualando à expressão teórica:
1{,}25\,\lambda = \frac{2m+1}{2}\,\lambda.
  • Como \lambda é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por \lambda para ficar só com números:
1{,}25 = \frac{2m+1}{2}.

Passo 4

Resolver a equação para m.
  • Multiplicando ambos os lados por 2:
2{,}50 = 2m+1.
  • Isolando m:
2m = 2{,}50 - 1 = 1{,}50,
m = \frac{1{,}50}{2} = 0{,}75.
  • Em forma de fração: m=\tfrac{3}{4}.

Passo 5

Interpretação física e comentário prático (para a prova).
  • O procedimento foi usar a condição padrão de mínimos \Delta=\dfrac{2m+1}{2}\lambda. O cálculo levou a m=0{,}75.
  • Observação importante: em geral m é usado como índice inteiro das ordens dos mínimos. O resultado m=0{,}75 significa que a diferença de percurso 1{,}25\,\lambda não coincide com um mínimo inteiro “classificado” por um m inteiro na sequência usual, ou seja está entre ordens inteiras. Em muitos enunciados m pode aparecer apenas como o valor numérico obtido pela álgebra (aqui 0{,}75); se a questão esperava um m inteiro, então os dados seriam incompatíveis — mas não há necessidade de ajustar nada: o cálculo direto fornece m=\tfrac{3}{4}.
  • Se quiser a diferença de percurso em unidades físicas, calcula-se
\Delta = 1{,}25\cdot 589\\ \mathrm{nm} = 736{,}25\\ \mathrm{nm} = 7{,}3625\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Resposta

m=\tfrac{3}{4}=0{,}75