Questão 08. Sejam \Phi_{1}=1 e \Phi_{2}=x soluções de uma EDO de ordem 2. Mostre que elas são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado dá que \Phi_{1}=1 e \Phi_{2}=x são soluções de uma equação diferencial ordinária de ordem 2 e pede para mostrar que elas são linearmente independentes.
Informações relevantes dadas: \Phi_{1}(x)=1 e \Phi_{2}(x)=x (funções definidas num intervalo I\subset\mathbb{R}).
O que se pede: provar que não existem constantes c_{1} e c_{2}, nem ambas nulas, tais que c_{1}\Phi_{1}(x)+c_{2}\Phi_{2}(x)=0 para todo x\in I.

Passo 2

Definição prática de independência linear (passo-a-passo): duas funções f e g são linearmente independentes em um intervalo I se a única forma de obter a combinação linear identicamente nula
c_{1}f(x)+c_{2}g(x)=0\quad\text{para todo }x\in I
é tomando c_{1}=0 e c_{2}=0. Aqui c_{1} e c_{2} são constantes (números reais). Vou aplicar essa definição diretamente às nossas funções.

Passo 3

Prova direta (mais elementar): suponha que existam constantes c_{1},c_{2} tais que, para todo x\in I,
c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot x = 0.
Essa é a igualdade
c_{1} + c_{2}x = 0\qquad\text{para todo }x\in I.
Escolha x=0 (como 0\in I ou, se não estiver, qualquer ponto de I onde possamos avaliar; a ideia é a mesma). Substituindo x=0 obtemos
c_{1} + c_{2}\cdot 0 = 0 \implies c_{1}=0.
Com c_{1}=0, a igualdade original fica
c_{2}x = 0\quad\text{para todo }x\in I.
Tomando qualquer x\neq 0 em I (existe um se I tem mais de um ponto; se I fosse só \{0\} as funções ainda seriam tratadas como independentes no sentido usual para soluções de EDO), obtemos c_{2}=0. Logo c_{1}=c_{2}=0. Conclusão: não há combinação linear não trivial que anule as funções, logo \Phi_{1} e \Phi_{2} são linearmente independentes.

Passo 4

Prova alternativa (usando o Wronskiano, um critério padrão): para duas funções f e g define-se o wronskiano
W(f,g)(x)=\begin{vmatrix} f(x) & g(x) \\\ f'(x) & g'(x) \end{vmatrix}=f(x)g'(x)-g(x)f'(x).
Um fato útil: se existe x_{0}\in I tal que W(f,g)(x_{0})\neq 0, então f e g são linearmente independentes em I. Agora calculemos para f=\Phi_{1}=1 e g=\Phi_{2}=x: temos \Phi_{1}'(x)=0 e \Phi_{2}'(x)=1. Então
W(\Phi_{1},\Phi_{2})(x)=\Phi_{1}(x)\Phi_{2}'(x)-\Phi_{2}(x)\Phi_{1}'(x)=1\cdot 1 - x\cdot 0 = 1.
O wronskiano é a constante 1, em particular não é nulo em nenhum ponto de I. Pelo critério do wronskiano, \Phi_{1} e \Phi_{2} são linearmente independentes.

Passo 5

Resumo intuitivo e incentivo: de modo simples, nenhuma combinação constante de 1 e x pode dar a função zero a não ser as constantes todas nulas — ou você vê isso avaliando em pontos diferentes, ou nota que o wronskiano é 1, nunca zero. Isso garante que, como soluções de uma EDO de segunda ordem, elas formam um par independente, o que é ótimo na hora de construir a solução geral. Segue firme — você já entendeu duas maneiras de provar independência!

Resposta

Sim. \Phi_{1}=1 e \Phi_{2}=x são linearmente independentes.

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