Questão 08. Sejam \Phi_{1}=1 e \Phi_{2}=x soluções de uma EDO de ordem 2. Mostre que elas são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado dá que \Phi_{1}=1 e \Phi_{2}=x são soluções de uma equação diferencial ordinária de ordem 2 e pede para mostrar que elas são linearmente independentes.
Informações relevantes dadas: \Phi_{1}(x)=1 e \Phi_{2}(x)=x (funções definidas num intervalo I\subset\mathbb{R}).
O que se pede: provar que não existem constantes c_{1} e c_{2}, nem ambas nulas, tais que c_{1}\Phi_{1}(x)+c_{2}\Phi_{2}(x)=0 para todo x\in I.
Passo 2
Definição prática de independência linear (passo-a-passo): duas funções f e g são linearmente independentes em um intervalo I se a única forma de obter a combinação linear identicamente nula
c_{1}f(x)+c_{2}g(x)=0\quad\text{para todo }x\in I
é tomando c_{1}=0 e c_{2}=0. Aqui c_{1} e c_{2} são constantes (números reais). Vou aplicar essa definição diretamente às nossas funções.
Passo 3
Prova direta (mais elementar): suponha que existam constantes c_{1},c_{2} tais que, para todo x\in I,
c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot x = 0.
Essa é a igualdade
c_{1} + c_{2}x = 0\qquad\text{para todo }x\in I.
Escolha x=0 (como 0\in I ou, se não estiver, qualquer ponto de I onde possamos avaliar; a ideia é a mesma). Substituindo x=0 obtemos
c_{1} + c_{2}\cdot 0 = 0 \implies c_{1}=0.
Com c_{1}=0, a igualdade original fica
c_{2}x = 0\quad\text{para todo }x\in I.
Tomando qualquer x\neq 0 em I (existe um se I tem mais de um ponto; se I fosse só \{0\} as funções ainda seriam tratadas como independentes no sentido usual para soluções de EDO), obtemos c_{2}=0. Logo c_{1}=c_{2}=0. Conclusão: não há combinação linear não trivial que anule as funções, logo \Phi_{1} e \Phi_{2} são linearmente independentes.
Passo 4
Prova alternativa (usando o Wronskiano, um critério padrão): para duas funções f e g define-se o wronskiano
Um fato útil: se existe x_{0}\in I tal que W(f,g)(x_{0})\neq 0, então f e g são linearmente independentes em I. Agora calculemos para f=\Phi_{1}=1 e g=\Phi_{2}=x: temos \Phi_{1}'(x)=0 e \Phi_{2}'(x)=1. Então
O wronskiano é a constante 1, em particular não é nulo em nenhum ponto de I. Pelo critério do wronskiano, \Phi_{1} e \Phi_{2} são linearmente independentes.
Passo 5
Resumo intuitivo e incentivo: de modo simples, nenhuma combinação constante de 1 e x pode dar a função zero a não ser as constantes todas nulas — ou você vê isso avaliando em pontos diferentes, ou nota que o wronskiano é 1, nunca zero. Isso garante que, como soluções de uma EDO de segunda ordem, elas formam um par independente, o que é ótimo na hora de construir a solução geral. Segue firme — você já entendeu duas maneiras de provar independência!
Resposta
Sim. \Phi_{1}=1 e \Phi_{2}=x são linearmente independentes.