Questão 10: Dado \vec{E}=-x \hat{a}_{x}+y \hat{a}_{y} V / m, (a) calcule o trabalho envolvido no deslocamento de uma carga unitária positiva por um arco circular do círculo centrado na origem, de x=a até x=y=a / \sqrt{2}; (b) mostre que o trabalho realizado no movimento da carga ao redor do círculo inteiro de x=a é zero.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo elétrico
\vec{E}=-x\,\hat{a}_x+y\,\hat{a}_y
e pede o trabalho realizado por uma carga unitária ao se deslocar ao longo de um arco de círculo de raio a, de x=a,y=0 até x=y=a/\sqrt{2}, e depois ao longo de todo o círculo.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, que para carga unitária é
W=\int_C\vec{E}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Parametrizamos o círculo de raio a centrado na origem por
\vec{r}(\theta)=a\cos\theta\,\hat{a}_x+a\sin\theta\,\hat{a}_y,
onde \theta varia de 0 até \pi/4 para o arco pedido. Assim
d\vec{r}=(-a\sin\theta\,d\theta)\,\hat{a}_x+(a\cos\theta\,d\theta)\,\hat{a}_y
e, no mesmo ponto,
\vec{E}(\theta)=-a\cos\theta\,\hat{a}_x+a\sin\theta\,\hat{a}_y.

Passo 3

Calculamos o produto escalar e a integral no arco de \theta=0 até \theta=\pi/4:
\vec{E}\cdot d\vec{r} =\bigl(-a\cos\theta\bigr)\bigl(-a\sin\theta\,d\theta\bigr) +\bigl(a\sin\theta\bigr)\bigl(a\cos\theta\,d\theta\bigr) =2a^2\sin\theta\cos\theta\,d\theta =a^2\sin(2\theta)\,d\theta.
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W_{\rm arco} =\int_{0}^{\pi/4}a^2\sin(2\theta)\,d\theta =\frac{a^2}{2}\Bigl[-\cos(2\theta)\Bigr]_{0}^{\pi/4} =\frac{a^2}{2}.

Passo 4

Para o círculo inteiro, basta estender a integral de \theta=0 até 2\pi:
W_{\rm total} =\int_{0}^{2\pi}a^2\sin(2\theta)\,d\theta =0,
pois \sin(2\theta) tem período \pi e soma nula em 0\le\theta\le2\pi. Isso também reflete que o campo é conservativo ( \nabla\times\vec{E}=0).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{a^2}{2}
(b) 0

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