Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.(SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES)
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n};

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{n}
e pede para decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos precisar (1) checar a convergência da série de termos absolutos \sum \tfrac{\ln n}{n} e (2) usar o critério de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\frac{(-1)^{n-1}\ln n}{n}\Bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}.
Usamos o teste da integral: considere
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx.
Fazendo u=\ln x, du=\tfrac{1}{x}dx, temos
\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx =\int_{0}^{\infty}u\,du =\Bigl.\frac{u^{2}}{2}\Bigr|_{0}^{\infty} =+\infty.
Como a integral diverge, a série \sum \tfrac{\ln n}{n} também diverge. Logo, nossa série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz para convergência condicional de séries alternantes. Defina
a_{n}=\frac{\ln n}{n}.
(1) Verificamos que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0, pois \ln n cresce mais devagar que n.
(2) Para ver que (a_{n}) é eventualmente decrescente, note que a função
f(x)=\frac{\ln x}{x},
para x>e, tem derivada
f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}<0.
Portanto, para n\ge 3, a_{n} é decrescente e tende a zero. Pelos requisitos do teste de Leibniz, a série alternante converge.

Passo 4

Concluímos que a série converge, mas não de forma absoluta, ou seja, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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