Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.(SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES)
\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}};

Passo 1

O enunciado dá a série alternada
\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}}
Para estudar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos dos termos:
\sum_{n=0}^{+\infty}\left|\;(-1)^{n-1}\,\frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}}\right| =\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}}.

Passo 2

Vamos calcular o limite do termo geral absoluto:
\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}+1} =1.
Como esse limite é diferente de zero, a série \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}}
não satisfaz o teste da condição necessária para convergência (o termo geral não tende a zero). Logo, ela diverge, e portanto a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para verificar convergência condicional de uma série alternada, precisamos que o termo geral tenda a zero. Mas já vimos que
\lim_{n\to\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{3^{n}}{2^{n}+3^{n}}
não existe como zero (o módulo tende a 1). Portanto a série nem sequer converge condicionalmente.

Resposta

A série é divergente.

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