Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.(SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES) \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{\operatorname{arctg} n}{n};
se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes: o critério de Leibniz para séries alternantes (para verificar convergência condicional) e um teste de comparação com a série harmônica para os valores absolutos (para ver se diverge absolutamente).
Passo 2
Defina a_n=\frac{\arctan(n)}{n}. Para aplicar o critério de Leibniz, precisamos de:
a_n>0. De fato \arctan(n)>0 para n\ge1, logo a_n>0.
\lim_{n\to\infty}a_n=0. Como \arctan(n)\to\frac{\pi}{2} e n\to\infty,
(a_n) é decrescente. Considere a função \displaystyle f(x)=\frac{\arctan(x)}{x} para x>0.
f'(x) =\frac{\frac{x}{1+x^2}-\arctan(x)}{x^2}.
Mas para x>0 tem-se \arctan(x)>\frac{x}{1+x^2} (pode-se verificar diferenciando g(x)=\arctan(x)-\tfrac{x}{1+x^2}), logo o numerador é negativo e f'(x)<0. Assim f decresce e, por consequência, a_n=f(n) também decresce.
Portanto, todos os requisitos do critério de Leibniz estão satisfeitos, e a série alternante converge.
mas \sum 1/n diverge (série harmônica). Logo a série dos valores absolutos diverge.
Passo 4
Concluímos que a série original converge pelo critério de Leibniz (é convergente) mas não converge absolutamente (a série dos valores absolutos diverge). Portanto ela é condicionalmente convergente.