Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.(SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES)
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{\operatorname{arctg} n}{n};

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{\arctan(n)}{n}
se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar dois testes: o critério de Leibniz para séries alternantes (para verificar convergência condicional) e um teste de comparação com a série harmônica para os valores absolutos (para ver se diverge absolutamente).

Passo 2

Defina a_n=\frac{\arctan(n)}{n}. Para aplicar o critério de Leibniz, precisamos de:
  1. a_n>0. De fato \arctan(n)>0 para n\ge1, logo a_n>0.
  2. \lim_{n\to\infty}a_n=0. Como \arctan(n)\to\frac{\pi}{2} e n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{\arctan(n)}{n} =\frac{\pi/2}{\infty} =0.
  1. (a_n) é decrescente. Considere a função \displaystyle f(x)=\frac{\arctan(x)}{x} para x>0.
f'(x) =\frac{\frac{x}{1+x^2}-\arctan(x)}{x^2}.
Mas para x>0 tem-se \arctan(x)>\frac{x}{1+x^2} (pode-se verificar diferenciando g(x)=\arctan(x)-\tfrac{x}{1+x^2}), logo o numerador é negativo e f'(x)<0. Assim f decresce e, por consequência, a_n=f(n) também decresce.
Portanto, todos os requisitos do critério de Leibniz estão satisfeitos, e a série alternante converge.

Passo 3

Considere agora a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{+\infty}\biggl|\;(-1)^{n-1}\frac{\arctan(n)}{n}\biggr| =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\arctan(n)}{n}.
Para n\ge1 vale \arctan(n)\ge\arctan(1)=\frac{\pi}{4}. Então
\frac{\arctan(n)}{n}\ge\frac{\pi/4}{n},
e
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\arctan(n)}{n} \ge\frac{\pi}{4}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n},
mas \sum 1/n diverge (série harmônica). Logo a série dos valores absolutos diverge.

Passo 4

Concluímos que a série original converge pelo critério de Leibniz (é convergente) mas não converge absolutamente (a série dos valores absolutos diverge). Portanto ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

Exercícios relacionados