Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.(SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES)
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{(-2)^{n}}{n^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{(-2)^{n}}{n^{2}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar simplificação do termo geral, o teste do termo e o teste da razão.

Passo 2

Simplificamos o fator (-1)^{n-1}(-2)^n. Como
(-1)^{n-1}(-2)^n = (-1)^{n-1}\,(-1)^n\,2^n = (-1)^{2n-1}2^n = -2^n,
o termo geral vira -2^n/n^2. Logo a série é
-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n^2}.

Passo 3

Para qualquer série convergente é necessário que o termo geral tenda a zero. Aqui
\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{n^2}=\infty,
portanto \lim_{n\to\infty}(-2^n/n^2)\neq0. Isso já garante que a série diverge.

Passo 4

Podemos confirmar que não há convergência absoluta aplicando o teste da razão à série de valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n^2}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}/(n+1)^2}{2^n/n^2} =2\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} =2>1,
logo a série de valores absolutos diverge.

Resposta

A série diverge.

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