Questão 10. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergenge.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{\operatorname{arctg} n}{n};

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\arctan n}{n}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo que vamos usar inclui o teste da série alternada (Leibniz) e o teste de convergência absoluta por comparação.

Passo 2

Vamos primeiro checar a convergência absoluta, ou seja, da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n-1}\frac{\arctan n}{n}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan n}{n}.
Para n grande temos \arctan n\to\frac{\pi}{2}, logo
\frac{\arctan n}{n}\sim\frac{\pi/2}{n}.
Como a série harmônica \sum1/n diverge, pelo teste da comparação (ou por limite de razão) a série dos valores absolutos também diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz para séries alternadas: escrevemos
a_n=\frac{\arctan n}{n}>0,
e precisamos verificar que a_n é decrescente para n suficientemente grande e que a_n\to0.
  1. Limite:
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{\arctan n}{n} =0.
  1. Monotonicidade (para x\ge1) consideramos a função contínua
f(x)=\frac{\arctan x}{x},
e calculamos
f'(x) =\frac{x\cdot\frac1{1+x^2}-\arctan x}{x^2} =\frac{\frac{x}{1+x^2}-\arctan x}{x^2}.
Para x\ge1 vale \arctan x>\frac{x}{1+x^2}, então o numerador é negativo e f'(x)<0. Assim f (e portanto a_n=f(n)) é decrescente para n\ge1.
Pela condição de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 4

Concluímos que a série converge (por Leibniz) mas não converge absolutamente (por comparação com a harmônica). Logo trata-se de convergência condicional.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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