QUESTÃO 10
Dois trens, ambos se movendo com velocidade de 30,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, trafegam em sentidos opostos na mesma linha férrea retilínea, em rota de colisão. Um pássaro parte da extremidade dianteira de um dos trens, quando estão separados por 60,0 \mathrm{~km}, voando a 60,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, e se dirige em linha reta para o outro trem. Ao chegar ao outro trem, o pássaro faz meia volta e se dirige para o primeiro trem, e assim por diante. Qual é a distância que o pássaro percorre até os trens colidirem?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que vem do enunciado):
  • Dois trens movem-se em sentidos opostos com velocidades iguais de 30{,}0\\ \mathrm{km/h} cada um.
  • A separação inicial entre os frontes dos trens é 60{,}0\\ \mathrm{km}.
  • Um pássaro parte da frente de um dos trens voando em direção ao outro com velocidade de 60{,}0\\ \mathrm{km/h}. Quando ele chega a um trem, faz meia volta instantaneamente e volta ao outro, repetindo até os trens colidirem.
  • O que o enunciado pede: a distância total que o pássaro percorre até o momento em que os trens colidem.

Passo 2

Escolha do método: a maneira mais simples é calcular quanto tempo leva para os trens colidirem e multiplicar esse tempo pela velocidade do pássaro (porque o pássaro voa continuamente até a colisão). Essa abordagem evita lidar com as infinitas idas e vindas; é direta e confiável. Ainda assim, depois de resolver pelo método direto eu mostro também o método da soma infinita (séries) para que fique claro por que os dois dão o mesmo resultado.

Passo 3

Calcular a rapidez com que a distância entre os trens diminui (velocidade de fechamento).
  • Como os trens vão em sentidos opostos, suas velocidades se somam para determinar a taxa de aproximação.
  • Portanto, a velocidade de fechamento é
v_{\text{fecho}} = v_1 + v_2 = 30{,}0 + 30{,}0 = 60{,}0\\ \mathrm{km/h}.
Explicação curta: se um objeto vai para a direita a a e outro para a esquerda a b, a distância entre eles diminui a a+b.

Passo 4

Calcular o tempo até a colisão usando a separação inicial e a velocidade de fechamento.
  • Fórmula básica: tempo = distância / velocidade.
t = \frac{\text{separação}}{v_{\text{fecho}}} = \frac{60{,}0\\ \mathrm{km}}{60{,}0\\ \mathrm{km/h}} = 1{,}0\\ \mathrm{h}.çã
Verificação de unidades: \mathrm{km}/(\mathrm{km/h}) = \mathrm{h}, está consistente.

Passo 5

Calcular a distância percorrida pelo pássaro usando \text{distância} = \text{velocidade} \times \text{tempo}â.
  • O pássaro voa durante todo o tempo t até a colisão, à velocidade 60{,}0\\ \mathrm{km/h}. Então
d = v_{\text{pássaro}}\cdot t = 60{,}0\\ \mathrm{km/h}\times 1{,}0\\ \mathrm{h} = 60{,}0\\ \mathrm{km}.á
Interpretação: o pássaro voa continuamente por 1 hora a 60{,}0\\ \mathrm{km/h}, portanto percorre 60{,}0\\ \mathrm{km}.

Passo 6

Agora mostro o método alternativo (soma das idas e vindas) para consolidar a compreensão — serve também para casos em que você precisa lidar com segmentos sucessivos numa prova.
  • Processo do primeiro trecho (do trem A ao trem B):
    • A velocidade relativa entre o pássaro e o trem que vem ao encontro é v_{\text{pássaro}} + v_{\text{trem}} = 60{,}0 + 30{,}0 = 90{,}0\\ \mathrm{km/h}á.
    • Tempo do primeiro trecho:
    t_1 = \frac{60{,}0}{90{,}0} = \frac{2}{3}\\ \mathrm{h}.
    • Distância percorrida pelo pássaro no primeiro trecho:
    d_1 = v_{\text{pássaro}}\cdot t_1 = 60{,}0\cdot\frac{2}{3} = 40{,}0\\ \mathrm{km}.á
  • Depois desse trecho, os trens aproximaram-se durante t_1 por
v_{\text{fecho}}\cdot t_1 = 60{,}0\cdot\frac{2}{3} = 40{,}0\\ \mathrm{km},
logo a nova separação é 60{,}0-40{,}0=20{,}0\\ \mathrm{km}.

Passo 7

Continuando, o segundo trecho (volta do pássaro ao trem A):
  • Tempo do segundo trecho:
t_2 = \frac{20{,}0}{90{,}0} = \frac{2}{9}\\ \mathrm{h}.
  • Distância do pássaro no segundo trecho:
d_2 = 60{,}0\cdot\frac{2}{9} = \frac{40}{3}\\ \mathrm{km}.
  • Observação: a razão entre d_2 e d_1 é
r = \frac{d_2}{d_1} = \frac{\tfrac{40}{3}}{40} = \frac{1}{3}.
  • De fato, cada trecho subsequente terá comprimento r vezes o trecho anterior, ou seja, forma-se uma série geométrica com primeiro termo d_1=40{,}0\\ \mathrm{km} e razão r=\tfrac{1}{3}.

Passo 8

Somando a série geométrica infinita para obter a distância total:
  • Fórmula da soma de uma série geométrica infinita (quando |r|<1):
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k} = \frac{a}{1-r},
onde a é o primeiro termo.
  • Aqui a=d_1=40{,}0\\ \mathrm{km} e r=\tfrac{1}{3}. Assim
d_{\text{total}} = \frac{40{,}0}{1-\tfrac{1}{3}} = \frac{40{,}0}{\tfrac{2}{3}} = 40{,}0\cdot\frac{3}{2} = 60{,}0\\ \mathrm{km}.
Conclusão: o resultado coincide com o método direto (velocidade do pássaro vezes o tempo até colisão), mostrando que ambas as abordagens são consistentes.

Resposta

60{,}0\\ \mathrm{km}

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