QUESTÃO 10
Dois trens, ambos se movendo com velocidade de
, trafegam em sentidos opostos na mesma linha férrea retilínea, em rota de colisão. Um pássaro parte da extremidade dianteira de um dos trens, quando estão separados por
, voando a
, e se dirige em linha reta para o outro trem. Ao chegar ao outro trem, o pássaro faz meia volta e se dirige para o primeiro trem, e assim por diante. Qual é a distância que o pássaro percorre até os trens colidirem?
Dois trens, ambos se movendo com velocidade de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que vem do enunciado):
- Dois trens movem-se em sentidos opostos com velocidades iguais de
cada um. - A separação inicial entre os frontes dos trens é
. - Um pássaro parte da frente de um dos trens voando em direção ao outro com velocidade de
. Quando ele chega a um trem, faz meia volta instantaneamente e volta ao outro, repetindo até os trens colidirem. - O que o enunciado pede: a distância total que o pássaro percorre até o momento em que os trens colidem.
Passo 2
Escolha do método: a maneira mais simples é calcular quanto tempo leva para os trens colidirem e multiplicar esse tempo pela velocidade do pássaro (porque o pássaro voa continuamente até a colisão). Essa abordagem evita lidar com as infinitas idas e vindas; é direta e confiável. Ainda assim, depois de resolver pelo método direto eu mostro também o método da soma infinita (séries) para que fique claro por que os dois dão o mesmo resultado.
Passo 3
Calcular a rapidez com que a distância entre os trens diminui (velocidade de fechamento).
- Como os trens vão em sentidos opostos, suas velocidades se somam para determinar a taxa de aproximação.
- Portanto, a velocidade de fechamento é
Explicação curta: se um objeto vai para a direita a
e outro para a esquerda a
, a distância entre eles diminui a
.
Passo 4
Calcular o tempo até a colisão usando a separação inicial e a velocidade de fechamento.
- Fórmula básica: tempo
distância / velocidade.
Verificação de unidades:
, está consistente.
Passo 5
Calcular a distância percorrida pelo pássaro usando
.
- O pássaro voa durante todo o tempo
até a colisão, à velocidade . Então
Interpretação: o pássaro voa continuamente por
hora a
, portanto percorre
.
Passo 6
Agora mostro o método alternativo (soma das idas e vindas) para consolidar a compreensão — serve também para casos em que você precisa lidar com segmentos sucessivos numa prova.
- Processo do primeiro trecho (do trem A ao trem B):
- A velocidade relativa entre o pássaro e o trem que vem ao encontro é
. - Tempo do primeiro trecho:
- Distância percorrida pelo pássaro no primeiro trecho:
- A velocidade relativa entre o pássaro e o trem que vem ao encontro é
- Depois desse trecho, os trens aproximaram-se durante
por
logo a nova separação é
.
Passo 7
Continuando, o segundo trecho (volta do pássaro ao trem A):
- Tempo do segundo trecho:
- Distância do pássaro no segundo trecho:
- Observação: a razão entre
e é
- De fato, cada trecho subsequente terá comprimento
vezes o trecho anterior, ou seja, forma-se uma série geométrica com primeiro termo e razão .
Passo 8
Somando a série geométrica infinita para obter a distância total:
- Fórmula da soma de uma série geométrica infinita (quando
):
onde
é o primeiro termo.
- Aqui
e . Assim
Conclusão: o resultado coincide com o método direto (velocidade do pássaro vezes o tempo até colisão), mostrando que ambas as abordagens são consistentes.