Questão 10 - São dados três vetores em metros:
\vec{d}_{1}=-3,0 \hat{i}+3,0 \hat{j}+2,0 \hat{k} \quad ; \quad \vec{d}_{2}=-2,0 \hat{i}-4,0 \hat{j}+2,0 \hat{k} \quad \text { e } \quad \vec{d}_{3}=2,0 \hat{i}+3,0 \hat{j}+1,0 \hat{k}
Determine:
\quad \vec{d}_{1} \cdot\left(\vec{d}_{2} \times \vec{d}_{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá três vetores (em metros). Vou listar exatamente o que foi fornecido e o que é pedido.
  • Vetores dados:
    • \vec{d}_{1} = \bigl(-3,0\bigr)\,\hat{i} + \bigl(3,0\bigr)\,\hat{j} + \bigl(2,0\bigr)\,\hat{k}.
    • \vec{d}_{2} = \bigl(-2,0\bigr)\,\hat{i} + \bigl(-4,0\bigr)\,\hat{j} + \bigl(2,0\bigr)\,\hat{k}.
    • \vec{d}_{3} = \bigl(2,0\bigr)\,\hat{i} + \bigl(3,0\bigr)\,\hat{j} + \bigl(1,0\bigr)\,\hat{k}.
  • O que a questão pede:
    • Determinar \vec{d}_{1}\cdot\bigl(\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3}\bigr).

Passo 2

O que vamos calcular e por quê (método escolhido).
  • A expressão \vec{d}_{1}\cdot\bigl(\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3}\bigr) é o produto misto (ou produto triple escalar). Pode ser calculada de dois jeitos equivalentes:
    1. calcular primeiro \vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3} (que dá um vetor) e depois fazer o produto escalar com \vec{d}_{1};
    2. calcular diretamente o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \vec{d}_{1},\vec{d}_{2},\vec{d}_{3}.
  • Vou usar o método (1): calcular \vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3} componente a componente e depois \vec{d}_{1}\cdot(\cdot). Esse método é bem didático porque deixa claro cada passo e ensina como fazer na prova sem memorização obscura.
Lembrando as fórmulas básicas (aula rápida):
  • Produto vetorial: para \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z), \vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_y b_z - a_z b_y\bigr)\,\hat{i} -\bigl(a_x b_z - a_z b_x\bigr)\,\hat{j} +\bigl(a_x b_y - a_y b_x\bigr)\,\hat{k}.Aqui cada componente é obtida por uma espécie de “determinante 2×2”.
  • Produto escalar: para \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z), \vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
  • Observação prática: todas as variáveis a_x,a_y,\dots representam componentes escalares (números) nas direções \hat{i},\hat{j},\hat{k}.

Passo 3

Calcular \vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3} usando a fórmula do produto vetorial. Primeiro escrevo as componentes numéricas:
  • \vec{d}_{2} = \bigl(d_{2x},d_{2y},d_{2z}\bigr) = \bigl(-2,0,\,-4,0,\,2,0\bigr).
  • \vec{d}_{3} = \bigl(d_{3x},d_{3y},d_{3z}\bigr) = \bigl(2,0,\,3,0,\,1,0\bigr).
Agora aplico a fórmula:
  • Componente \hat{i}: (\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3})_x = d_{2y}d_{3z} - d_{2z}d_{3y}.Substituindo: (\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3})_x = \bigl(-4,0\bigr)\cdot\bigl(1,0\bigr) - \bigl(2,0\bigr)\cdot\bigl(3,0\bigr) = -4,0 - 6,0 = -10,0.
  • Componente \hat{j}: (\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3})_y = -\bigl(d_{2x}d_{3z} - d_{2z}d_{3x}\bigr).Substituindo: (\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3})_y = -\Bigl(\bigl(-2,0\bigr)\cdot\bigl(1,0\bigr) - \bigl(2,0\bigr)\cdot\bigl(2,0\bigr)\Bigr) = -\bigl(-2,0 - 4,0\bigr) = -\bigl(-6,0\bigr) = 6,0.
  • Componente \hat{k}: (\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3})_z = d_{2x}d_{3y} - d_{2y}d_{3x}.Substituindo: (\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3})_z = \bigl(-2,0\bigr)\cdot\bigl(3,0\bigr) - \bigl(-4,0\bigr)\cdot\bigl(2,0\bigr) = -6,0 - (-8,0) = -6,0 + 8,0 = 2,0.
Portanto
\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3} = -10,0\,\hat{i} + 6,0\,\hat{j} + 2,0\,\hat{k}.

Passo 4

Agora faço o produto escalar \vec{d}_{1}\cdot\bigl(\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3}\bigr).
Escrevendo as componentes:
  • \vec{d}_{1} = \bigl(-3,0,\,3,0,\,2,0\bigr).
  • \vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3} = \bigl(-10,0,\,6,0,\,2,0\bigr).
Aplicando a fórmula do produto escalar:
\vec{d}_{1}\cdot\bigl(\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3}\bigr) = (-3,0)\cdot(-10,0) + (3,0)\cdot(6,0) + (2,0)\cdot(2,0).
Calculo termo a termo:
  • (-3,0)\cdot(-10,0) = 30,0.
  • (3,0)\cdot(6,0) = 18,0.
  • (2,0)\cdot(2,0) = 4,0.
Somando:
30,0 + 18,0 + 4,0 = 52,0.

Passo 5

Interpretação rápida (útil para prova): o valor \vec{d}_{1}\cdot(\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3}) é o volume orientado do paralelepípedo gerado pelos três vetores; o resultado é um número escalar. Aqui o valor é positivo, indicando orientação direita (não é necessário para a resposta, mas é bom saber).

Resposta

\,52,0\\ \text{m}^3