Questão 10 - São dados três vetores em metros:
Determine:
Passo 1
O enunciado dá três vetores (em metros). Vou listar exatamente o que foi fornecido e o que é pedido.
-
Vetores dados:
-
. -
. -
.
-
-
O que a questão pede:
- Determinar
.
- Determinar
Passo 2
O que vamos calcular e por quê (método escolhido).
- A expressão
é o produto misto (ou produto triple escalar). Pode ser calculada de dois jeitos equivalentes: - calcular primeiro
(que dá um vetor) e depois fazer o produto escalar com ; - calcular diretamente o determinante da matriz
cujas linhas (ou colunas) são as componentes de .
- calcular primeiro
- Vou usar o método (1): calcular
componente a componente e depois . Esse método é bem didático porque deixa claro cada passo e ensina como fazer na prova sem memorização obscura.
Lembrando as fórmulas básicas (aula rápida):
- Produto vetorial: para
e , Aqui cada componente é obtida por uma espécie de “determinante 2×2”. - Produto escalar: para
e , - Observação prática: todas as variáveis
representam componentes escalares (números) nas direções .
Passo 3
Calcular
usando a fórmula do produto vetorial. Primeiro escrevo as componentes numéricas:
-
. -
.
Agora aplico a fórmula:
- Componente
: Substituindo: - Componente
: Substituindo: - Componente
: Substituindo:
Portanto
Passo 4
Agora faço o produto escalar
.
Escrevendo as componentes:
-
. -
.
Aplicando a fórmula do produto escalar:
Calculo termo a termo:
-
. -
. -
.
Somando:
Passo 5
Interpretação rápida (útil para prova): o valor
é o volume orientado do paralelepípedo gerado pelos três vetores; o resultado é um número escalar. Aqui o valor é positivo, indicando orientação direita (não é necessário para a resposta, mas é bom saber).