Questão 10. Suponha que p e q são funções constantes e positivas e que f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} é uma função contínua. Se \varphi_{1}(t) e \varphi_{2}(t) são soluções de
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f,
mostre que
\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\varphi_{1}(t)-\varphi_{2}(t)\right]=0

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes positivos,
y'' + p\,y' + q\,y = f(t),
onde p>0, q>0 e f contínua em (0,\infty). Duas soluções quaisquer \varphi_{1} e \varphi_{2} satisfazem essa mesma equação, e o objetivo é mostrar que a diferença delas tende a zero quando t\to\infty. Para isso, vamos usar o fato clássico de que a diferença de duas soluções de uma equação não homogênea é solução da correspondente homogênea, e então analisar o decaimento das soluções homogêneas via raízes do polinômio característico.

Passo 2

Defina
u(t) \;=\; \varphi_{1}(t)\;-\;\varphi_{2}(t).
Como \varphi_{1} e \varphi_{2} satisfazem
y'' + p\,y' + q\,y = f(t),
subtraindo as duas igualdades obtemos
\varphi_{1}'' - \varphi_{2}'' + p\bigl(\varphi_{1}' - \varphi_{2}'\bigr) + q\bigl(\varphi_{1}-\varphi_{2}\bigr) = 0,
isto é,
u'' + p\,u' + q\,u = 0.

Passo 3

A equação homogênea
u'' + p\,u' + q\,u = 0
tem polinômio característico
\lambda^{2} + p\,\lambda + q = 0.
As raízes são
\lambda_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^{2} - 4q}}{2}.
Como p>0 e q>0, a soma das raízes é -p<0 e o produto é q>0, logo as raízes têm parte real negativa (sejam reais ou complexas conjugadas).

Passo 4

A solução geral da homogênea é
u(t) = C_{1}\,e^{\lambda_{1} t} + C_{2}\,e^{\lambda_{2} t},
com constantes C_{1},C_{2} definidas pelas condições iniciais. Como \Re(\lambda_{1})<0 e \Re(\lambda_{2})<0, cada termo exponencial tende a zero quando t\to\infty. Logo
\lim_{t\to\infty}u(t) \;=\; 0.

Resposta

\lim_{t\rightarrow \infty}\bigl[\varphi_{1}(t)-\varphi_{2}(t)\bigr] \;=\; 0.

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