Questão 10. Suponha que
e
são funções constantes e positivas e que
é uma função contínua. Se
e
são soluções de
mostre que
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes positivos,
onde
,
e
contínua em
. Duas soluções quaisquer
e
satisfazem essa mesma equação, e o objetivo é mostrar que a diferença delas tende a zero quando
. Para isso, vamos usar o fato clássico de que a diferença de duas soluções de uma equação não homogênea é solução da correspondente homogênea, e então analisar o decaimento das soluções homogêneas via raízes do polinômio característico.
Passo 2
Defina
Como
e
satisfazem
subtraindo as duas igualdades obtemos
isto é,
Passo 3
A equação homogênea
tem polinômio característico
As raízes são
Como
e
, a soma das raízes é
e o produto é
, logo as raízes têm parte real negativa (sejam reais ou complexas conjugadas).
Passo 4
A solução geral da homogênea é
com constantes
definidas pelas condições iniciais. Como
e
, cada termo exponencial tende a zero quando
. Logo