1- Questăo:
100 g de
a
sũo mantidos através de m sistema pistonado sob pressão de 30 atm. A pressão cai subitamente a 10 atm e o gás se expande adiabaticamente.
para o
é igual a
. Calcular a temperatura final do gás. Quais os valores de
para o processo. Indique as considerações que fez para resolver o problema.
100 g de
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei exatamente o que há e o que se pede):
- Massa de gás:
de . - Temperatura inicial:
(ou seja, ). - Pressão inicial do gás (e do pistão):
. - A pressão cai subitamente para
e o gás expande adiabaticamente até o novo equilíbrio. - Capacidade térmica molar a volume constante (dada):
.
O que o exercício pede:
- Calcular a temperatura final do gás
. - Calcular
e do processo. - Indicar as considerações feitas para resolver o problema.
Observação importante retirada do enunciado (e que vou usar explicitamente): o problema não especifica se
é por mol — vou assumir que sim (unidade típica). Vou expor essa e outras considerações mais detalhadamente num passo próprio antes de calcular.
Passo 2
Considerações e hipóteses adotadas (explicação didática do porquê delas):
- Tratar
como gás ideal. Isso é razoável nas pressões e temperaturas dadas para fins de exercício teórico. - Interpretar
como capacidade molar (por mol). Convertendo para joules: , logo Vou arredondar só no final. - A expansão é adiabática:
. - Processo é irreversível pois a pressão cai de 30 para 10 atm “subitamente”; a expansão ocorre contra pressão externa constante
. Após a expansão, a pressão do gás em equilíbrio será . - Uso da convenção termodinâmica
, onde é o trabalho realizado sobre o sistema. Para expansão contra pressão externa constante: (o sistema realiza trabalho sobre o vizinho; portanto o trabalho sobre o sistema é negativo). - Para gás ideal
depende somente de : . - Relação de estado do gás ideal será usada para ligar volumes e temperaturas:
.
Passo 3
Determinar o número de mols
e constantes numéricas:
- Massa molar do
: . Então - Constante dos gases em SI:
- Converter pressões para pascal quando for calcular trabalho em J:
. Assim
Passo 4
Montar a equação de balanço de energia e relacionar com volumes via gás ideal (explicação didática do raciocínio):
- Como
, - Pelo gás ideal,
Logo - Substituindo em
e em : Podemos simplificar dividindo por (não-nulo) e desenvolvendo. Observação: aqui usei que .
Passo 5
Resolver algebricamente para
(cada passo explicado):
- Começando de
- Expandindo o lado direito (note que
cancela na primeira fração): - Agrupando os termos com
à esquerda: - Reconhecendo
(capacidade molar a pressão constante), obtemos: Esta fórmula é intuitiva: a fração aparece porque a expansão foi feita contra pressão externa diferente da interna inicial; para expansão reversível adiabática apareceria diferentemente, mas aqui esta é a forma do balanço energético para este processo irreversível com .
Passo 6
Substituir os valores numéricos e calcular
(cálculos detalhados passo a passo):
- Já temos
(conversão de ). -
. -
. - Calcule numerador e denominador:
- Razão:
- Portanto
- Em graus Celsius:
Passo 7
Calcular
e
com explicação do porquê das fórmulas:
- Para gás ideal,
. Já sabemos , e :
Calculando:
O sinal negativo indica que a energia interna diminuiu — faz sentido: o gás realizou trabalho sobre o ambiente e não recebeu calor.
- Para
, para gás ideal vale onde . Então
Comentário físico:
também ficou negativa porque a temperatura caiu; para gás ideal
depende somente de
.