1- Questăo:
100 g de \mathrm{N}_{2} a 25^{\circ} \mathrm{C} sũo mantidos através de m sistema pistonado sob pressão de 30 atm. A pressão cai subitamente a 10 atm e o gás se expande adiabaticamente. \mathrm{O} \mathrm{C}_{v} para o \mathrm{N}_{2} é igual a 4,95 \mathrm{cal} / \mathrm{grau}. Calcular a temperatura final do gás. Quais os valores de \Delta \mathrm{U}, \Delta \mathrm{H} para o processo. Indique as considerações que fez para resolver o problema.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei exatamente o que há e o que se pede):
  • Massa de gás: 100\\ \mathrm{g} de \mathrm{N}_2.
  • Temperatura inicial: 25^\circ\mathrm{C} (ou seja, T_i=298{,}15\\ \mathrm{K}).
  • Pressão inicial do gás (e do pistão): P_i=30\\ \mathrm{atm}.
  • A pressão cai subitamente para P_{\text{ext}}=10\\ \mathrm{atm} e o gás expande adiabaticamente até o novo equilíbrio.
  • Capacidade térmica molar a volume constante (dada): C_V=4{,}95\\ \mathrm{cal\\ mol^{-1}\,K^{-1}}.
O que o exercício pede:
  1. Calcular a temperatura final do gás T_f.
  2. Calcular \Delta U e \Delta H do processo.
  3. Indicar as considerações feitas para resolver o problema.
Observação importante retirada do enunciado (e que vou usar explicitamente): o problema não especifica se C_V é por mol — vou assumir que sim (unidade típica). Vou expor essa e outras considerações mais detalhadamente num passo próprio antes de calcular.

Passo 2

Considerações e hipóteses adotadas (explicação didática do porquê delas):
  • Tratar \mathrm{N}_2 como gás ideal. Isso é razoável nas pressões e temperaturas dadas para fins de exercício teórico.
  • Interpretar C_V=4{,}95\\ \mathrm{cal\\ mol^{-1}\,K^{-1}} como capacidade molar (por mol). Convertendo para joules: 1\\ \mathrm{cal}=4{,}184\\ \mathrm{J}, logo C_V = 4{,}95\times 4{,}184 = 20{,}7108\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\,K^{-1}}.Vou arredondar só no final.
  • A expansão é adiabática: q=0.
  • Processo é irreversível pois a pressão cai de 30 para 10 atm “subitamente”; a expansão ocorre contra pressão externa constante P_{\text{ext}}=10\\ \mathrm{atm}. Após a expansão, a pressão do gás em equilíbrio será P_f=10\\ \mathrm{atm}.
  • Uso da convenção termodinâmica \Delta U = q + w, onde w é o trabalho realizado sobre o sistema. Para expansão contra pressão externa constante: w = -P_{\text{ext}}\,\Delta V(o sistema realiza trabalho +P_{\text{ext}}\Delta V sobre o vizinho; portanto o trabalho sobre o sistema é negativo).
  • Para gás ideal \Delta U depende somente de T: \Delta U = n C_V (T_f-T_i).
  • Relação de estado do gás ideal será usada para ligar volumes e temperaturas: PV=nRT.

Passo 3

Determinar o número de mols n e constantes numéricas:
  • Massa molar do \mathrm{N}_2: M_{\mathrm{N}_2}=28{,}0134\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}. Então n=\frac{100\\ \mathrm{g}}{28{,}0134\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}\approx 3{,}5690\\ \mathrm{mol}.
  • Constante dos gases em SI: R=8{,}31446\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Converter pressões para pascal quando for calcular trabalho em J: 1\\ \mathrm{atm}=101\,325\\ \mathrm{Pa}. Assim P_i=30\\ \mathrm{atm}=3{,}03975\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}, \qquad P_f=P_{\text{ext}}=10\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Montar a equação de balanço de energia e relacionar com volumes via gás ideal (explicação didática do raciocínio):
  • Como q=0, \Delta U = w = -P_{\text{ext}}\,\Delta V.
  • Pelo gás ideal, V_i=\frac{nRT_i}{P_i},\qquad V_f=\frac{nRT_f}{P_f}.Logo \Delta V = V_f-V_i = nR\!\left(\frac{T_f}{P_f}-\frac{T_i}{P_i}\right).
  • Substituindo em \Delta U = nC_V(T_f-T_i) e em w: nC_V(T_f-T_i) = -P_{\text{ext}}\cdot nR\!\left(\frac{T_f}{P_f}-\frac{T_i}{P_i}\right).Podemos simplificar dividindo por n (não-nulo) e desenvolvendo. Observação: aqui usei que P_f=P_{\text{ext}}.

Passo 5

Resolver algebricamente para T_f (cada passo explicado):
  • Começando de C_V(T_f-T_i) = -P_f R\!\left(\frac{T_f}{P_f}-\frac{T_i}{P_i}\right).
  • Expandindo o lado direito (note que P_f cancela na primeira fração): C_V(T_f-T_i) = -R\bigl(T_f - P_f\frac{T_i}{P_i}\bigr).
  • Agrupando os termos com T_f à esquerda: C_V T_f + R T_f = C_V T_i + R P_f\frac{T_i}{P_i}.
  • Reconhecendo C_V+R=C_P (capacidade molar a pressão constante), obtemos: T_f = T_i\\ \frac{C_V + R\,(P_f/P_i)}{C_V+R}.Esta fórmula é intuitiva: a fração (P_f/P_i) aparece porque a expansão foi feita contra pressão externa diferente da interna inicial; para expansão reversível adiabática P_f/P_i apareceria diferentemente, mas aqui esta é a forma do balanço energético para este processo irreversível com P_{\text{ext}}=P_f.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e calcular T_f (cálculos detalhados passo a passo):
  • Já temos C_V=20{,}7108\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\,K^{-1}} (conversão de 4{,}95\\ \mathrm{cal/mol\,K}).
  • R=8{,}31446\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • P_f/P_i = 10/30 = 1/3.
  • Calcule numerador e denominador: \text{numerador}=C_V + R\frac{P_f}{P_i} =20{,}7108 + 8{,}31446\cdot\frac{1}{3}=20{,}7108 + 2{,}77149 = 23{,}4823.
\text{denominador}=C_V+R =20{,}7108 + 8{,}31446 = 29{,}0253.
  • Razão: \frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}=\frac{23{,}4823}{29{,}0253}\approx 0{,}8089.
  • Portanto T_f = 298{,}15\\ \mathrm{K}\times 0{,}8089 \approx 241{,}16\\ \mathrm{K}.
  • Em graus Celsius: T_f = 241{,}16\\ \mathrm{K}-273{,}15 \approx -31{,}99^\circ\mathrm{C}\approx -32{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Calcular \Delta U e \Delta H com explicação do porquê das fórmulas:
  • Para gás ideal, \Delta U = nC_V(T_f-T_i). Já sabemos n, C_V e T_f-T_i: \Delta T = T_f-T_i = 241{,}16 - 298{,}15 = -56{,}99\\ \mathrm{K}.
\Delta U = 3{,}5690\\ \mathrm{mol}\times 20{,}7108\\ \mathrm{J/(mol\,K)}\times (-56{,}99\\ \mathrm{K}).
Calculando:
\Delta U \approx -4\,213{,}6\\ \mathrm{J}\approx -4{,}21\\ \mathrm{kJ}.
O sinal negativo indica que a energia interna diminuiu — faz sentido: o gás realizou trabalho sobre o ambiente e não recebeu calor.
  • Para \Delta H, para gás ideal vale \Delta H = n C_P (T_f-T_i) onde C_P=C_V+R. Então C_P = 20{,}7108 + 8{,}31446 = 29{,}0253\\ \mathrm{J/(mol\,K)}.
\Delta H = 3{,}5690\times 29{,}0253\times(-56{,}99)\approx -5\,906{,}1\\ \mathrm{J}\approx -5{,}91\\ \mathrm{kJ}.
Comentário físico: \Delta H também ficou negativa porque a temperatura caiu; para gás ideal \Delta H depende somente de T.

Resposta

T_f \approx 241{,}16\\ \mathrm{K}\\ (\approx -31{,}99^\circ\mathrm{C})
\Delta U \approx -4{,}21\\ \mathrm{kJ}
\Delta H \approx -5{,}91\\ \mathrm{kJ}

Exercícios relacionados