Questão 108. Determine o termo geral \left(a_{n}\right) em função de n e a ordem de cada uma P.A de cada uma das sequências abaixo:
\left(2,5,11,20,32, \ldots, a_{n}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a sequência
\left(2,5,11,20,32,\ldots,a_n\right)
ou seja, a_1=2, a_2=5, a_3=11, a_4=20, a_5=32.
O que se pede:
  • Determinar o termo geral \left(a_n\right) em função de n.
  • Determinar a ordem (informação sobre a P.A. envolvida) relacionada à sequência.

Passo 2

Calcular as diferenças entre termos consecutivos (primeiras diferenças). Sempre que tiver sequência e não souber o termo geral, olhar as diferenças é um ótimo primeiro passo.
\begin{aligned} \Delta_1 &= a_2-a_1 = 5-2 = 3,\\\ \Delta_2 &= a_3-a_2 = 11-5 = 6,\\\ \Delta_3 &= a_4-a_3 = 20-11 = 9,\\\ \Delta_4 &= a_5-a_4 = 32-20 = 12. \end{aligned}

Passo 3

Observar o padrão das primeiras diferenças. As diferenças calculadas são
3,\,6,\,9,\,12,\ldots
Isto é uma P.A. (progressão aritmética): cada termo aumenta sempre em 3. Para relembrar com calma: uma P.A. é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante; essa diferença chama-se razão da P.A.
Aqui a P.A. das diferenças tem primeiro termo 3 e razão 3. Em notação, se chamarmos d_k a k-ésima diferença, então
d_k = 3k\quad\text{(porque }d_1=3,\\ d_2=6=3\cdot2,\\ \text{etc.)}.

Passo 4

Consequence importante (explicando devagar): se as primeiras diferenças formam uma P.A. (ou seja, as diferenças entre termos consecutivos são proporcionais a k), então a sequência original é uma sequência quadrática — seu termo geral é um polinômio de grau 2 em n. Outra maneira de ver isso é: as segundas diferenças são constantes (aqui \Delta_2-\Delta_1=3, \Delta_3-\Delta_2=3, etc.), e isso caracteriza uma sequência de ordem 2.
Duas estratégias para obter o termo geral:
  • (A) Assumir a_n como um polinômio quadrático a_n=An^2+Bn+C e resolver um sistema para A,B,C.
  • (B) Usar a soma das diferenças: a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} d_k, com d_k sendo a P.A. das primeiras diferenças. Vou usar a estratégia (B) porque é direta e elegante.

Passo 5

Aplicar a fórmula por soma das diferenças. Partindo de a_1=2 e sabendo que d_k=3k para k\ge1:
a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} d_k = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 3k.
Fatorando o 3:
a_n = 2 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k.
Lembrando a fórmula da soma dos primeiros m inteiros:
\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2},
aqui com m=n-1 temos
\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}.
Substituindo:
a_n = 2 + 3\cdot\frac{(n-1)n}{2} = 2 + \frac{3n(n-1)}{2}.

Passo 6

Simplificar a expressão, se preferir forma única:
a_n = \frac{3n(n-1)}{2} + 2 = \frac{3n^2-3n+4}{2}.
Fazer uma checagem rápida com os primeiros valores para ganhar confiança:
\begin{aligned} n=1&:\\ a_1=\frac{3\cdot1^2-3\cdot1+4}{2}=\frac{3-3+4}{2}=\frac{4}{2}=2,\\\ n=2&:\\ a_2=\frac{12-6+4}{2}=\frac{10}{2}=5,\\\ n=3&:\\ a_3=\frac{27-9+4}{2}=\frac{22}{2}=11, \end{aligned}
que conferem com os termos dados.

Passo 7

Interpretar a “ordem” pedida: como as primeiras diferenças formam uma P.A. (razão constante entre as diferenças é 3) e as segundas diferenças são constantes, diz-se que a sequência é de ordem 2 (segunda ordem). Em outras palavras:
  • A P.A. das primeiras diferenças tem primeiro termo 3 e razão 3.
  • A sequência original tem ordem 2 (é quadrática).

Resposta

\displaystyle a_n = 2 + \frac{3n(n-1)}{2} = \frac{3n^2-3n+4}{2}
As primeiras diferenças formam uma P.A. de primeiro termo 3 e razão 3; a sequência é de ordem 2.

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