Questão 108. Determine o termo geral
em função de
e a ordem de cada uma P.A de cada uma das sequências abaixo:
Passo 1
O enunciado fornece a sequência
ou seja,
,
,
,
,
.
O que se pede:
O que se pede:
- Determinar o termo geral
em função de . - Determinar a ordem (informação sobre a P.A. envolvida) relacionada à sequência.
Passo 2
Calcular as diferenças entre termos consecutivos (primeiras diferenças). Sempre que tiver sequência e não souber o termo geral, olhar as diferenças é um ótimo primeiro passo.
Passo 3
Observar o padrão das primeiras diferenças. As diferenças calculadas são
Isto é uma P.A. (progressão aritmética): cada termo aumenta sempre em
. Para relembrar com calma: uma P.A. é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante; essa diferença chama-se razão da P.A.
Aqui a P.A. das diferenças tem primeiro termo
e razão
. Em notação, se chamarmos
a
-ésima diferença, então
Passo 4
Consequence importante (explicando devagar): se as primeiras diferenças formam uma P.A. (ou seja, as diferenças entre termos consecutivos são proporcionais a
), então a sequência original é uma sequência quadrática — seu termo geral é um polinômio de grau
em
. Outra maneira de ver isso é: as segundas diferenças são constantes (aqui
,
, etc.), e isso caracteriza uma sequência de ordem
.
Duas estratégias para obter o termo geral:
- (A) Assumir
como um polinômio quadrático e resolver um sistema para . - (B) Usar a soma das diferenças:
, com sendo a P.A. das primeiras diferenças. Vou usar a estratégia (B) porque é direta e elegante.
Passo 5
Aplicar a fórmula por soma das diferenças. Partindo de
e sabendo que
para
:
Fatorando o
:
Lembrando a fórmula da soma dos primeiros
inteiros:
aqui com
temos
Substituindo:
Passo 6
Simplificar a expressão, se preferir forma única:
Fazer uma checagem rápida com os primeiros valores para ganhar confiança:
que conferem com os termos dados.
Passo 7
Interpretar a “ordem” pedida: como as primeiras diferenças formam uma P.A. (razão constante entre as diferenças é
) e as segundas diferenças são constantes, diz-se que a sequência é de ordem
(segunda ordem). Em outras palavras:
- A P.A. das primeiras diferenças tem primeiro termo
e razão . - A sequência original tem ordem
(é quadrática).
Resposta
As primeiras diferenças formam uma P.A. de primeiro termo