Questão 108. Determine o termo geral
em função de
e a ordem de cada uma P.A de cada uma das sequências abaixo:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede duas coisas:
- Determinar o termo geral
em função de . - Determinar a ordem de cada uma das P.A. (isto é, analisar se as sequências das diferenças formam progressões aritméticas e qual é a sua razão).
Informações dadas: os primeiros termos são
.
Passo 2
Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática passo a passo).
- Quando uma sequência de números é gerada por um polinômio em
de grau , as diferenças finitas de ordem tornam-se constantes. Por exemplo: - Se as diferenças de primeira ordem (diferenças entre termos consecutivos) são constantes, a sequência é uma P.A. (polinômio de grau
). - Se as diferenças de segunda ordem são constantes, a sequência é um polinômio de grau
(uma sequência quadrática). - Em geral, se as diferenças de ordem
são constantes e é o menor inteiro com essa propriedade, então a sequência é dada por um polinômio em de grau .
- Se as diferenças de primeira ordem (diferenças entre termos consecutivos) são constantes, a sequência é uma P.A. (polinômio de grau
- Estratégia prática: calcular as diferenças sucessivas até encontrar uma linha de diferenças constante; isso nos diz o grau do polinômio que representa
. Depois assumimos a forma polinomial e determinamos os coeficientes resolvendo um sistema linear com os primeiros termos.
Vou aplicar isso passo a passo à sequência dada.
Passo 3
Calcular as diferenças sucessivas (tabela de diferenças). Vou mostrar cada subtração explicitamente.
Primeira diferença (diferenças entre termos consecutivos):
Portanto a primeira linha de diferenças é
Segunda diferença (diferenças entre os termos da primeira diferença):
Então a segunda linha é
Terceira diferença (diferenças entre os termos da segunda diferença):
A terceira linha é
que já é constante.]
Passo 4
Interpretação das diferenças: como a terceira diferença é constante (igual a
), isso indica que a sequência
é dada por um polinômio em
de grau
(menor grau que produz essa primeira constante nas diferenças). Assim podemos assumir que
onde
são constantes reais a determinar.
Passo 5
Montar o sistema de equações usando os primeiros quatro termos (substituindo
).
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Agora subtraímos equações consecutivas para eliminar
e simplificar.
Subtraindo a eq.
da eq.
:
Subtraindo a eq.
da eq.
:
Subtraindo a eq.
da eq.
:
Agora subtraímos (I) de (II) e (II) de (III) para eliminar
:
(II) − (I):
(III) − (II):
Subtraindo (IV) de (V):
Substituindo
em (IV):
Substituir
em (I) para achar
:
Calculando,
então
Finalmente
pela primeira equação:
Somando
, então
.
Portanto os coeficientes são
Passo 6
Escrever o termo geral com os coeficientes encontrados e simplificar:
Fatorando
:
Reconhecendo
, obtemos a forma mais simples e elegante:
Verificação rápida (só para ganhar confiança): para
dá
, para
dá
, para
dá
, etc., coincidindo com os termos dados.
Passo 7
Responder a parte sobre as P.A. das diferenças (ordem/razões):
- Primeira diferença
: . Essa sequência NÃO é uma P.A. (as diferenças entre seus termos são , variando). - Segunda diferença
: . Essa é uma P.A. de razão . - Terceira diferença
: . Essa é constante (P.A. de razão ).
Em linguagem curta: a sequência tem terceira diferença constante (igual a
), a segunda diferença é uma P.A. de razão
, e a primeira diferença não é P.A.
Resposta
Primeira diferença:
— não é P.A.
Segunda diferença: — é P.A. de razão
.
Terceira diferença: — constante (P.A. de razão
).
Segunda diferença:
Terceira diferença: