Questão 108. Determine o termo geral \left(a_{n}\right) em função de n e a ordem de cada uma P.A de cada uma das sequências abaixo:
\left(2,8,20,40,70, \ldots, a_{n}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
(2,8,20,40,70,\ldots,a_{n})
e pede duas coisas:
  • Determinar o termo geral \left(a_{n}\right) em função de n.
  • Determinar a ordem de cada uma das P.A. (isto é, analisar se as sequências das diferenças formam progressões aritméticas e qual é a sua razão).
Informações dadas: os primeiros termos são \,a_{1}=2,\\ a_{2}=8,\\ a_{3}=20,\\ a_{4}=40,\\ a_{5}=70\,.

Passo 2

Ideia e ferramenta que vamos usar (explicação didática passo a passo).
  • Quando uma sequência de números é gerada por um polinômio em n de grau k, as diferenças finitas de ordem k tornam-se constantes. Por exemplo:
    • Se as diferenças de primeira ordem (diferenças entre termos consecutivos) são constantes, a sequência é uma P.A. (polinômio de grau 1).
    • Se as diferenças de segunda ordem são constantes, a sequência é um polinômio de grau 2 (uma sequência quadrática).
    • Em geral, se as diferenças de ordem k são constantes e k é o menor inteiro com essa propriedade, então a sequência é dada por um polinômio em n de grau k.
  • Estratégia prática: calcular as diferenças sucessivas até encontrar uma linha de diferenças constante; isso nos diz o grau do polinômio que representa a_{n}. Depois assumimos a forma polinomial e determinamos os coeficientes resolvendo um sistema linear com os primeiros termos.
Vou aplicar isso passo a passo à sequência dada.

Passo 3

Calcular as diferenças sucessivas (tabela de diferenças). Vou mostrar cada subtração explicitamente.
Primeira diferença (diferenças entre termos consecutivos):
\begin{aligned} \Delta a_{1} &= a_{2}-a_{1}=8-2=6,\\[4pt] \Delta a_{2} &= a_{3}-a_{2}=20-8=12,\\[4pt] \Delta a_{3} &= a_{4}-a_{3}=40-20=20,\\[4pt] \Delta a_{4} &= a_{5}-a_{4}=70-40=30. \end{aligned}
Portanto a primeira linha de diferenças é
(6,\,12,\,20,\,30,\ldots).
Segunda diferença (diferenças entre os termos da primeira diferença):
\begin{aligned} \Delta^{2}a_{1} &= 12-6=6,\\[4pt] \Delta^{2}a_{2} &= 20-12=8,\\[4pt] \Delta^{2}a_{3} &= 30-20=10. \end{aligned}
Então a segunda linha é
(6,\,8,\,10,\ldots).
Terceira diferença (diferenças entre os termos da segunda diferença):
\begin{aligned} \Delta^{3}a_{1} &= 8-6=2,\\[4pt] \Delta^{3}a_{2} &= 10-8=2. \end{aligned}
A terceira linha é
(2,\,2,\ldots),
que já é constante.]

Passo 4

Interpretação das diferenças: como a terceira diferença é constante (igual a 2), isso indica que a sequência \left(a_{n}\right) é dada por um polinômio em n de grau 3 (menor grau que produz essa primeira constante nas diferenças). Assim podemos assumir que
a_{n}=A n^{3}+B n^{2}+C n+D,
onde A,B,C,D são constantes reais a determinar.

Passo 5

Montar o sistema de equações usando os primeiros quatro termos (substituindo n=1,2,3,4).
Para n=1:
A+B+C+D=2.
Para n=2:
8A+4B+2C+D=8.
Para n=3:
27A+9B+3C+D=20.
Para n=4:
64A+16B+4C+D=40.
Agora subtraímos equações consecutivas para eliminar D e simplificar.
Subtraindo a eq. n=1 da eq. n=2:
7A+3B+C=6 \quad\text{(I)}.
Subtraindo a eq. n=2 da eq. n=3:
19A+5B+C=12 \quad\text{(II)}.
Subtraindo a eq. n=3 da eq. n=4:
37A+7B+C=20 \quad\text{(III)}.
Agora subtraímos (I) de (II) e (II) de (III) para eliminar C:
(II) − (I):
12A+2B=6 \quad\Rightarrow\quad 6A+B=3 \quad\text{(IV)}.
(III) − (II):
18A+2B=8 \quad\Rightarrow\quad 9A+B=4 \quad\text{(V)}.
Subtraindo (IV) de (V):
3A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{3}.
Substituindo A=\tfrac{1}{3} em (IV):
6\cdot\tfrac{1}{3}+B=3 \quad\Rightarrow\quad 2+B=3 \quad\Rightarrow\quad B=1.
Substituir A,B em (I) para achar C:
7\cdot\tfrac{1}{3}+3\cdot1+C=6 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{7}{3}+3+C=6.
Calculando,
\tfrac{7}{3}+3=\tfrac{7}{3}+\tfrac{9}{3}=\tfrac{16}{3},
então
\tfrac{16}{3}+C=6 \quad\Rightarrow\quad C=6-\tfrac{16}{3}=\tfrac{18-16}{3}=\tfrac{2}{3}.
Finalmente D pela primeira equação:
A+B+C+D=2 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{3}+1+\tfrac{2}{3}+D=2.
Somando \tfrac{1}{3}+\tfrac{2}{3}=1, então 1+1+D=2\Rightarrow D=0.
Portanto os coeficientes são
A=\tfrac{1}{3},\quad B=1,\quad C=\tfrac{2}{3},\quad D=0.

Passo 6

Escrever o termo geral com os coeficientes encontrados e simplificar:
a_{n}=\tfrac{1}{3}n^{3}+1\cdot n^{2}+\tfrac{2}{3}n.
Fatorando \tfrac{1}{3}n:
a_{n}=\tfrac{1}{3}n\bigl(n^{2}+3n+2\bigr).
Reconhecendo n^{2}+3n+2=(n+1)(n+2), obtemos a forma mais simples e elegante:
a_{n}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}.
Verificação rápida (só para ganhar confiança): para n=1 2, para n=2 8, para n=3 20, etc., coincidindo com os termos dados.

Passo 7

Responder a parte sobre as P.A. das diferenças (ordem/razões):
  • Primeira diferença \Delta a_{n}: (6,\,12,\,20,\,30,\ldots). Essa sequência NÃO é uma P.A. (as diferenças entre seus termos são 6,8,10,\ldots, variando).
  • Segunda diferença \Delta^{2}a_{n}: (6,\,8,\,10,\ldots). Essa é uma P.A. de razão \,2.
  • Terceira diferença \Delta^{3}a_{n}: (2,\,2,\ldots). Essa é constante (P.A. de razão 0).
Em linguagem curta: a sequência tem terceira diferença constante (igual a \,2), a segunda diferença é uma P.A. de razão \,2, e a primeira diferença não é P.A.

Resposta

a_{n}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}
Primeira diferença: (6,12,20,30,\ldots) — não é P.A.
Segunda diferença: (6,8,10,\ldots) — é P.A. de razão \,2.
Terceira diferença: (2,2,\ldots) — constante (P.A. de razão 0).

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