Questão 109. Deduza uma fórmula para cada uma das expressões abaixo e calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
S_{n}=1 \cdot 3+2 \cdot 4+3 \cdot 5+4 \cdot 6+\ldots

Passo 1

O enunciado apresenta a soma dos termos
1\cdot3+2\cdot4+3\cdot5+4\cdot6+\ldots
As perguntas são:
  • Deduza uma fórmula geral para a expressão (ou seja, para a soma dos primeiros n termos).
  • Calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
Informações relevantes dadas:
  • Os termos são produtos do tipo k\cdot(k+2) para k=1,2,3,\ldots.
  • A soma parcial que queremos denotar por S_n é a soma dos primeiros n termos:
S_n=\sum_{k=1}^{n} k(k+2).

Passo 2

Identificar o termo geral e reescrever de forma conveniente para somar:
  • O k-ésimo termo da soma é
a_k = k(k+2).
  • Expandindo a_k para facilitar a soma:
a_k = k^2 + 2k.
Assim podemos escrever a soma parcial como soma de duas somas conhecidas:
S_n=\sum_{k=1}^{n} \big(k^2+2k\big)=\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k.

Passo 3

Apresentar e justificar as fórmulas para \sum_{k=1}^n k e \sum_{k=1}^n k^2 (aquelas que usamos frequentemente).
  1. Soma dos primeiros n inteiros:
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.
Justificação curta (método de Gauss): emparelhando 1+n,\;2+(n-1),\ldots obtém-se n/2 pares com soma n+1, daí o resultado.
  1. Soma dos quadrados dos primeiros n inteiros:
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Justificação usando soma telescópica de cubos: note que
(k+1)^3-k^3 = 3k^2+3k+1.
Somando essa identidade para k=1 até n
(n+1)^3-1 = 3\sum_{k=1}^n k^2 + 3\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1.
Substituindo \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2} e \sum_{k=1}^n 1 = n e resolvendo para \sum_{k=1}^n k^2 obtém-se a fórmula indicada acima.

Passo 4

Usar as fórmulas no passo 2 para obter S_n.
Substituindo na expressão de S_n:
S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\cdot\frac{n(n+1)}{2}.
Simplificar o segundo termo:
2\cdot\frac{n(n+1)}{2} = n(n+1).
Somando os dois termos com fator comum n(n+1):
S_n = n(n+1)\left(\frac{2n+1}{6} + 1\right).
Colocando em uma fração única:
\frac{2n+1}{6} + 1 = \frac{2n+1+6}{6} = \frac{2n+7}{6}.
Portanto a fórmula fechada é
\boxed{\,S_n = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}\,}.

Passo 5

Calcular S_{50} usando a fórmula encontrada.
Substituindo n=50 em \displaystyle S_n=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}:
S_{50}=\frac{50\cdot 51\cdot(2\cdot50+7)}{6}=\frac{50\cdot51\cdot107}{6}.
Simplificar fatores: \dfrac{50}{6}=\dfrac{25}{3} e \dfrac{51}{3}=17, então
S_{50}=25\cdot17\cdot107.
Calcular passo a passo: 25\cdot17=425 e 425\cdot107=425\cdot(100+7)=42500+2975=45475.

Resposta

S_n=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}
S_{50}=45475

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