Questão 109. Deduza uma fórmula para cada uma das expressões abaixo e calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
Passo 1
O enunciado apresenta a soma dos termos
As perguntas são:
- Deduza uma fórmula geral para a expressão (ou seja, para a soma dos primeiros
termos). - Calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
Informações relevantes dadas:
- Os termos são produtos do tipo
para . - A soma parcial que queremos denotar por
é a soma dos primeiros termos:
Passo 2
Identificar o termo geral e reescrever de forma conveniente para somar:
- O
-ésimo termo da soma é
- Expandindo
para facilitar a soma:
Assim podemos escrever a soma parcial como soma de duas somas conhecidas:
Passo 3
Apresentar e justificar as fórmulas para
e
(aquelas que usamos frequentemente).
- Soma dos primeiros
inteiros:
Justificação curta (método de Gauss): emparelhando
obtém-se
pares com soma
, daí o resultado.
- Soma dos quadrados dos primeiros
inteiros:
Justificação usando soma telescópica de cubos: note que
Somando essa identidade para
até
dá
Substituindo
e
e resolvendo para
obtém-se a fórmula indicada acima.
Passo 4
Usar as fórmulas no passo 2 para obter
.
Substituindo na expressão de
:
Simplificar o segundo termo:
Somando os dois termos com fator comum
:
Colocando em uma fração única:
Portanto a fórmula fechada é
Passo 5
Calcular
usando a fórmula encontrada.
Substituindo
em
:
Simplificar fatores:
e
, então
Calcular passo a passo:
e
.