QUESTÃO 11

A equipe de motorização de uma montadora está desenvolvendo um novo motor diesel agrícola de 4 cilindros e 80 CV destinado a tratores de pequenos e médios produtores do cerrado maranhense região onde a temperatura ambiente em fevereiro frequentemente ultrapassa 42^{\circ} \mathrm{C} e o trator opera em regimes contínuos durante a janela de plantio. O mancal principal do virabrequim será do tipo deslizamento, com bucha de bronze ao chumbo, lubrificação forçada por bomba do cárter, operando
a n=2000 \mathrm{rpm} sob força radial F=20 \mathrm{kN} com árvore de aço temperado de d=60 \mathrm{~mm}. Para a especificação da bomba de óleo e do trocador de calor que serão integrados ao bloco do motor, é necessário dimensionar termicamente o mancal - adote temperatura ambiente T_{a}=50^{\circ} \mathrm{C} e coeficiente de atrito \mu=0,0025.
Calcule:
a) Velocidade periférica;
b) Pressão média admissível;
c) Potência dissipada por atrito;
d) Vazão de óleo lubrificante.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas e nos fornece alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e todos os dados numéricos que temos (peguei estes valores do enunciado):
  • Perguntas:
    a) Calcular a velocidade periférica;
    b) Calcular a pressão média admissível (pressão média atuante no mancal);
    c) Calcular a potência dissipada por atrito no mancal;
    d) Calcular a vazão de óleo lubrificante necessária para retirar o calor gerado.
  • Dados fornecidos:
    • velocidade de rotação: n=2000\\ \mathrm{rpm};
    • força radial sobre o mancal: F=20\\ \mathrm{kN}=20000\\ \mathrm{N};
    • diâmetro do eixo: d=60\\ \mathrm{mm}=0{,}06\\ \mathrm{m};
    • coeficiente de atrito (estimado / fornecido): \mu=0{,}0025;
    • temperatura ambiente: T_a=50\,^\circ\mathrm{C}.
Observação importante para a resolução: o enunciado não dá comprimento do mancal L nem variação de temperatura admissível do óleo \Delta T. Em engenharia prática é comum escolher uma relação L/D ou um \Delta T de projeto. Vou explicar essas escolhas e usá‑las claramente quando necessário.

Passo 2

a) Velocidade periférica (velocidade de superfície do eixo).
Conceito e fórmula: a velocidade periférica v é a velocidade linear da superfície do eixo e é dada por
v=\pi d\frac{n}{60},
onde
  • d é o diâmetro do eixo (em metros),
  • n é a rotação em rpm,
  • o fator 60 converte rpm para rotações por segundo e \pi d é o comprimento da circunferência.
Substituindo os valores:
v=\pi\cdot(0{,}06)\cdot\frac{2000}{60} =\pi\cdot0{,}06\cdot33{,}333\ldots =\pi\cdot2 \approx6{,}283185\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o eixo tem velocidade periférica aproximadamente 6{,}28\\ \mathrm{m/s}. Anota isso — vai entrar no cálculo de potência por atrito.

Passo 3

b) Pressão média admissível (pressão média atuante no mancal).
Conceito: a carga radial F sobre um mancal de apoio distribuído ao longo da área projetada do mancal gera uma pressão média p. Para mancais cilíndricos em contato com a árvore, usa‑se a área projetada A=d\cdot L, onde L é o comprimento do mancal. Assim
p=\frac{F}{A}=\frac{F}{d\,L}.
Problema: o enunciado não informa L. Em problemas didáticos costuma‑se tomar uma relação prática de comprimento L em função do diâmetro d. Uma escolha comum e conservadora para mancais principais pequenos é usar L=d (ou seja, razão L/D=1), porque dá um comprimento suficientemente grande para suportar a carga sem exigir excesso de contato. Vou adotar essa escolha e explico: ela é simples, comum em exercícios e permite obter uma pressão média de referência. Se no projeto real houver restrição de espaço usa‑se outro L.
Assumindo L=d=0{,}06\\ \mathrm{m}, temos
p=\frac{F}{d^2}=\frac{20000}{(0{,}06)^2}=\frac{20000}{0{,}0036}=5\,555\,555{,}6\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para MPa:
p\approx5{,}56\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: com L=d a pressão média no mancal fica cerca de 5{,}56\\ \mathrm{MPa}. Em fase de projeto isso é comparado com a pressão admissível do material do mancal; para buchas de bronze com chumbo esse valor é aceitável em muitos casos de regime contínuo (mas a decisão final exige tabela de material / curva p× v).

Passo 4

c) Potência dissipada por atrito no mancal.
Conceito: a potência perdida por atrito é a força de atrito vezes a velocidade de deslizamento. Para atrito seco ou lubrificado com coeficiente médio \mu uma estimativa simples é tomar a força de atrito F_{\text{at}}=\mu F. Então a potência por atrito é
P=F_{\text{at}}\,v=\mu F v,
onde v é a velocidade periférica já calculada.
Explicando as variáveis:
  • \mu é coeficiente de atrito adimensional (fornecido),
  • F é a carga radial em N,
  • v é a velocidade linear em m/s.
Cálculo:
P=\mu F v=0{,}0025\cdot20000\cdot6{,}283185\approx314{,}1593\\ \mathrm{W}.
Convém também dar em kW:
P\approx0{,}31416\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: aproximadamente 314\\ \mathrm{W} são dissipados por atrito no mancal — essa potência vira calor que o óleo e o bloco devem remover.

Passo 5

d) Vazão de óleo lubrificante necessária.
Conceito e fórmula: a vazão de óleo necessária para remover a potência térmica P pode ser obtida a partir do balanço de energia: a potência removida pelo fluxo de óleo é \dot{m} c_p \Delta T, sendo \dot{m} a massa por segundo do óleo, c_p o calor específico e \Delta T a elevação de temperatura do óleo atravessando o mancal. Em termos de vazão volumétrica Q (m^3/s) e densidade \rho:
P=\dot{m} c_p \Delta T=\rho Q c_p \Delta T \quad\Rightarrow\quad Q=\frac{P}{\rho c_p \Delta T}.
O enunciado não fornece \Delta T nem propriedades do óleo. Para trabalhar numericamente escolho valores típicos usados em projeto:
  • densidade aproximada do óleo: \rho=870\\ \mathrm{kg/m^3} (óleo mineral de motor),
  • calor específico do óleo: c_p=2000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (valor conservador),
  • salto de temperatura \Delta T: como o mancal é pequeno e para preservar o óleo convém limitar o aquecimento, tomo \Delta T=10\\ \mathrm{K} (a escolha de 10\\ \mathrm{K} é conservadora; se aceitar \Delta T maior a vazão necessária cai proporcionalmente — darei a expressão para ajustar).
Substituindo:
Q=\frac{314{,}1593}{870\cdot2000\cdot10} =\frac{314{,}1593}{17\,400\,000} \approx1{,}8057\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/s}.
Conversões úteis:
  • em litros por minuto: 1\\ \mathrm{m^3/s}=60{,}000\\ \mathrm{L/min}, então
Q\approx1{,}8057\times10^{-5}\cdot60{,}000\approx1{,}0834\\ \mathrm{L/min}.
Comentário prático: com \Delta T=10\\ \mathrm{K} a vazão necessária é cerca de 1{,}08\\ \mathrm{L/min}. Se o projetista aceitar \Delta T=20\\ \mathrm{K}, a vazão cai para aproximadamente 0{,}54\\ \mathrm{L/min} (metade). A fórmula abaixo permite ajustar:
Q\;(\mathrm{m^3/s})=\frac{314{,}1593}{870\cdot2000\cdot\Delta T} \quad\text{ou}\quad Q\;(\mathrm{L/min})=\frac{314{,}1593\cdot60{,}000}{870\cdot2000\cdot\Delta T}.

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio (para usar na prova):
  • calcular v com v=\pi d n/60;
  • pressão média p=F/(dL); escolher L quando não fornecido (aqui adotei L=d);
  • potência de atrito P=\mu F v (força de atrito \mu F vezes velocidade);
  • vazão Q=P/(\rho c_p \Delta T); escolher propriedades do óleo e \Delta T razoáveis.

Resposta

a) \;v\approx6{,}283\\ \mathrm{m/s}
b) \;p\approx5{,}56\\ \mathrm{MPa} (assumindo L=d=0{,}06\\ \mathrm{m})
c) \;P\approx314{,}16\\ \mathrm{W} (≈ 0{,}314\\ \mathrm{kW})
d) \;Q\approx1{,}083\\ \mathrm{L/min} (= 1{,}8057\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/s}), adotando \rho=870\\ \mathrm{kg/m^3}, c_p=2000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e \Delta T=10\\ \mathrm{K}.

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