QUESTÃO 12

Uma fábrica de embalagens plásticas no Distrito Industrial de São Luís opera 24 \mathrm{~h} / dia um compressor alternativo de pistão - equipamento de 1956 ainda em uso - que abastece toda a linha de injetoras com ar comprimido a 10 bar. Após 30 anos da última grande revisão, o par de mancais de deslizamento (traseiro e dianteiro) apresentou folga excessiva detectada por vibração axial, e a substituição foi programada para a próxima parada de manutenção (janela de 72 h ). Os novos mancais serão executados em bronze ao chumbo sobre árvore de aço temperado existente com d=40 \mathrm{~mm}, mantendo a lubrificação por mecha (sistema original do equipamento, que não pode ser modificado sem nova homologação INMETRO). Operação: carga radial F=2500 \mathrm{~N}, rotação n=600 \mathrm{rpm}, temperatura ambiente T_{a}=45^{\circ} \mathrm{C}.
Determine:
a) Velocidade periférica;
b) Pressão admissível;
c) Largura da bucha e folga diametral;
d) Espessura do filme de óleo;
e) Potência de atrito e viscosidade do fluido;
f) Vazão de lubrificante e temperatura final.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
Dados fornecidos:
  • diâmetro do eixo: d=40\\ \mathrm{mm}=0{,}040\\ \mathrm{m};
  • carga radial: F=2500\\ \mathrm{N};
  • rotação: n=600\\ \mathrm{rpm};
  • temperatura ambiente: T_a=45^\circ\mathrm{C};
  • o mancal é de bronze ao chumbo, lubrificação por mecha (sistema original).
O enunciado pede:
a) velocidade periférica;
b) pressão admissível;
c) largura da bucha e folga diametral;
d) espessura do filme de óleo (espessura mínima do filme);
e) potência de atrito e viscosidade do fluido;
f) vazão de lubrificante e temperatura final.
Observações importantes que já considerei (não são perguntas, apenas hipóteses necessárias para resolver o problema):
  • É preciso escolher um valor prático e justificável para a pressão admissível do par bronze/aco lubrificado. Vou justificar e adotar um valor típico de projeto.
  • É preciso adotar um critério para a folga (faixa típica para mancais bronze com lubrificação por mecha).
  • Para estimar espessura de filme e viscosidade uso a equação de Petroff (muito usada para mancais excêntricos/concentrados com filme viscoso) e a relação potência = força de atrito × velocidade periférica.
  • Para a vazão e temperatura faço balanço energético simples: a potência de atrito aquece o óleo; assumo propriedades típicas do óleo mineral (massa específica e calor específico) e escolho uma elevação de temperatura admissível para estimar vazão.

Passo 2

Calcular velocidade periférica (velocidade na circunferência do diâmetro do eixo). Fórmula:
v=\frac{\pi d n}{60}.
  • Aqui d é o diâmetro do eixo em metros, n é a rotação em rpm, e o resultado v fica em metros por segundo.
Substituindo:
v=\frac{\pi\cdot 0{,}040\cdot 600}{60}=\pi\cdot 0{,}4=\;1{,}256637\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: a superfície do eixo move-se a cerca de 1{,}26\\ \mathrm{m/s}, velocidade típica baixa para mancais industriais.

Passo 3

Escolha e justificativa da pressão admissível. Explicação didática:
  • Em projectos de mancais de bronze ao chumbo lubrificados com óleo, a pressão admissível de projeto (pressão média sobre a projeção d\times L) costuma ficar numa faixa prática entre cerca de 1{,}0\\ \mathrm{MPa} e 3{,}0\\ \mathrm{MPa}, dependendo da qualidade da lubrificação, acabamento e regime de operação.
  • Valores menores dão buchas mais longas; valores maiores reduzem comprimento, mas exigem lubrificação melhor e aumentam risco de esmagamento do filme. Para um compressor antigo e lubrificação por mecha (alimentação limitada), é conservador escolher um valor intermediário.
Vou adotar como pressão admissível de projeto
p_{\text{adm}}=2{,}0\\ \mathrm{MPa}=2{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},
explicando que é um valor típico seguro para bronze ao chumbo com lubrificação por óleo em operação contínua.

Passo 4

Determinar a largura da bucha L usando a definição de pressão média (pressão média sobre a projeção do mancal):
p=\frac{F}{d\;L}\quad\Rightarrow\quad L=\frac{F}{p\,d}.
  • Aqui F é a carga radial, d o diâmetro e p a pressão média (adotada como p_{\text{adm}}).
Substituindo F=2500\\ \mathrm{N}, p=2{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} e d=0{,}040\\ \mathrm{m}:
L=\frac{2500}{2{,}0\times10^{6}\cdot 0{,}040}=\frac{2500}{80\,000}=0{,}03125\\ \mathrm{m}=31{,}25\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: a relação L/d fica
\frac{L}{d}=\frac{31{,}25}{40}=0{,}78125,
ou seja, L/d\approx0{,}78, um valor dentro da faixa prática (tipicamente 0{,}5 a 1{,}0).
Agora a folga diametral. Explicação didática:
  • Para mancais de pequeno diâmetro e lubrificação por mecha é usual adotar folga diametral \Delta entre 0{,}001\\ d e 0{,}002\\ d (isto é, 0{,}1\% a 0{,}2\% do diâmetro) — isso fornece espaço para o filme de óleo sem folga excessiva.
  • Vou escolher um valor conservador e prático no meio da faixa: \Delta=0{,}0015\\ d.
Calculando:
\Delta=0{,}0015\cdot 40\\ \mathrm{mm}=0{,}06\\ \mathrm{mm}=60\\ \mu\mathrm{m}.
  • Em metros: \Delta=6{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • A folga radial (clearance radial) c é metade da folga diametral:
c=\frac{\Delta}{2}=3{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=0{,}03\\ \mathrm{mm}=30\\ \mu\mathrm{m}.
Comentário prático: \Delta=0{,}06\\ \mathrm{mm} é compatível com usinagem e folgas de montagem em buchas de 40\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Determinar uma estimativa da espessura mínima do filme de óleo (espessura do filme h_{\min}). Explicação didática sobre excentricidade:
  • Em mancais hidrodinâmicos o eixo desloca-se do centro dentro da bucha; a razão entre deslocamento e folga é a razão de excentricidade \varepsilon ( 0\le\varepsilon<1 ). O filme mínimo vale aproximadamente h_{\min}=c(1-\varepsilon).
  • Para cargas moderadas e lubrificação aceitável costuma-se ter \varepsilon entre 0{,}6 e 0{,}85. Valores baixos ( <0{,}6) indicam folga grande e filme espesso; valores altos ( >0{,}85) filme muito fino e risco de contato.
  • Para nosso caso escolho \varepsilon=0{,}7 (valor típico em projeto moderado).
Assim:
h_{\min}=c(1-\varepsilon)=3{,}0\times10^{-5}\cdot(1-0{,}7)=3{,}0\times10^{-5}\cdot 0{,}3=9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Convertendo: h_{\min}=0{,}009\\ \mathrm{mm}=9\\ \mu\mathrm{m}.
Interpretação: um filme mínimo de cerca de 9\\ \mu\mathrm{m} — suficiente em geral para evitar contato metal-metal se o óleo e a superfície estiverem limpos e o acabamento for razoável.

Passo 6

Estimativa da viscosidade do óleo necessária usando a equação de Petroff e cálculo da potência de atrito. Vou introduzir a equação e explicar.
Equação de Petroff (forma prática para mancais quase concêntricos / regime viscoso):
f=\frac{2\pi^{2}\eta n r}{p\,c},
onde:
  • f é o coeficiente de atrito (adimensional);
  • \eta é a viscosidade dinâmica do óleo em \mathrm{Pa\cdot s};
  • n é a rotação em revoluções por segundo ( \mathrm{s^{-1}});
  • r é o raio do eixo em metros ( r=d/2);
  • p é a pressão média no mancal em \mathrm{Pa} (usamos p=p_{\text{adm}} porque dimensionamos L para essa pressão);
  • c é a folga radial (m).
Explicação: Petroff é uma formulação simplificada útil para estimar a relação entre viscosidade e coeficiente de atrito em mancais lubrificados com filme viscoso concentrado.
Decisões práticas:
  • Vou usar como alvo um coeficiente de atrito prático para mancal bem lubrificado: f=0{,}01 (valor típico de projeto, entre 0{,}005 e 0{,}02 dependendo de condição).
  • Converter rotação: n=600\\ \mathrm{rpm}=600/60=10\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • r=d/2=0{,}040/2=0{,}020\\ \mathrm{m}.
  • p=p_{\text{adm}}=2{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • c=3{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Resolver para \eta:
\eta=\frac{f\,p\,c}{2\pi^{2} n r}.
Substituindo números:
  • Numerador: f p c=0{,}01\cdot 2{,}0\times10^{6}\cdot 3{,}0\times10^{-5}=0{,}6.
  • Denominador: 2\pi^{2} n r=2\cdot\pi^{2}\cdot 10\cdot 0{,}020\approx 3{,}94784.
    Logo
\eta=\frac{0{,}6}{3{,}94784}\approx 0{,}15198\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Converter para unidades usuais:
  • \eta\approx 0{,}152\\ \mathrm{Pa\cdot s}=152\\ \mathrm{mPa\cdot s}.
  • A viscosidade cinemática \nu=\eta/\rho. Tomando densidade típica de óleo \rho\approx 870\\ \mathrm{kg/m^3}:
\nu=\frac{0{,}15198}{870}\approx 1{,}747\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}=174{,}7\\ \mathrm{mm^2/s}=174{,}7\\ \text{cSt}.
Interpretação: para obter f\approx0{,}01 com a folga adotada, precisaríamos de um óleo com \eta\approx0{,}152\\ \mathrm{Pa\cdot s} no regime de operação do mancal (isto é, na temperatura final do mancal). Esse valor corresponde a uma kinemática elevada (aprox. 175\\ \text{cSt}), típico de óleos tipo ISO VG 150–220 na temperatura considerada.
Agora potência de atrito. Fórmula direta (força de atrito × velocidade periférica) ou usando torque:
P_{\text{fric}} = f\,F\,v.
  • F=2500\\ \mathrm{N}, v calculado no Passo 2, f=0{,}01.
Substituindo:
P_{\text{fric}}=0{,}01\cdot 2500\cdot 1{,}256637\approx 31{,}4159\\ \mathrm{W}.
Interpretação: a perda por atrito no mancal será da ordem de 31{,}4\\ \mathrm{W} sob as hipóteses adotadas.

Passo 7

Estimativa da vazão de lubrificante necessária e temperatura final do óleo no mancal (balanço energético simples). Metodologia e hipóteses didáticas:
  • A potência de atrito P_{\text{fric}} é dissipada em calor no conjunto mancal/óleo.
  • Se admitirmos que cerca de toda essa potência é retirada pelo óleo (hipótese conservadora — na prática parte vai para as peças e dali ao ar), então um fluxo de óleo suficiente deve levar essa potência removida.
  • Balanço energético simples (estado estacionário, sem outras fontes):
P_{\text{fric}}=\dot{m}\,c_p\,\Delta T,
onde \dot{m} é a vazão mássica do óleo \mathrm{kg/s}, c_p é o calor específico do óleo ( \approx 2000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} para óleo mineral típico) e \Delta T é elevação de temperatura entre entrada e saída do óleo no mancal.
Escolha prática para \Delta T:
  • Vou admitir uma elevação de temperatura aceitável de \Delta T=20\\ \mathrm{K} (isto é, óleo entra a 45^\circ\mathrm{C} e sai a 65^\circ\mathrm{C}). Essa escolha é uma trade-off entre baixo consumo de óleo e excesso de aquecimento (20 K é razoável para lubrificação por mecha; se a mecha não fornecer esse fluxo, a temperatura subirá mais).
Resolver para \dot{m}:
\dot{m}=\frac{P_{\text{fric}}}{c_p\,\Delta T}=\frac{31{,}4159}{2000\cdot 20}=\frac{31{,}4159}{40\,000}\approx 7{,}854\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/s}.
Vazão volumétrica Q (m^3/s):
Q=\frac{\dot{m}}{\rho}=\frac{7{,}854\times10^{-4}}{870}\approx 9{,}025\times10^{-7}\\ \mathrm{m^3/s}.
Converter para unidades mais usuais (litros por hora):
Q_{\text{L/h}}=9{,}025\times10^{-7}\times 3600\times 1000\approx 3{,}249\\ \mathrm{L/h}.
Temperatura final estimada:
T_{\text{final}}=T_a+\Delta T=45^\circ\mathrm{C}+20^\circ\mathrm{C}=65^\circ\mathrm{C}.
Comentários práticos:
  • Q\approx 3{,}25\\ \mathrm{L/h} é uma vazão relativamente grande para um sistema por mecha. Na prática a mecha fornece vazões menores e parte do calor vai para as partes metálicas e ao ar, de modo que a temperatura real pode ser um pouco menor ou maior dependendo do arranjo. Se a vazão disponível pela mecha for muito menor, a temperatura subirá e a viscosidade cairá.
  • A viscosidade requerida calculada no Passo 6 ( \eta\approx0{,}152\\ \mathrm{Pa\cdot s}) era necessário na temperatura de operação do mancal; portanto concluímos que para manter f\approx0{,}01 à temperatura final estimada 65^\circ\mathrm{C} é preciso um óleo cuja viscosidade dinâmica nessa temperatura seja perto de 0{,}152\\ \mathrm{Pa\cdot s} (ou kinemática \nu\approx175\\ \text{cSt} se \rho\approx870\\ \mathrm{kg/m^3}). Isso implica escolher um óleo com viscosidade nominal mais alta a 40^\circ\mathrm{C} (por exemplo uma família VG alta), de modo que após aquecimento mantenha a viscosidade desejada.

Passo 8

Resumo com comentários finais e recomendações práticas (para a prova):
  • Procedimento usado: calculei v diretamente; escolhi p_{\text{adm}} típico para bronze lubrificado; calculei L por L=F/(p d); escolhi folga diametral típica \Delta=0{,}0015d; estimei h_{\min} por hipótese de excentricidade; usei a equação de Petroff para relacionar \eta e f e calculei a potência de atrito por P=f F v; por fim fiz balanço energético para obter vazão e temperatura final assumindo \Delta T=20\\ \mathrm{K}.
  • Se em prova pedirem que adote outro valor para p_{\text{adm}} ou folga, o procedimento é o mesmo — apenas substitua e recalcule L, c, h_{\min} e \eta.
  • Observação prática: em projeto real verificaria tabelas de pressão admissível para o bronze específico, a disponibilidade real da mecha (vazão real), e faria análise térmica mais detalhada e verificação do índice de viscosidade do óleo escolhido. Aqui apresentei um procedimento autossuficiente e números típicos para que você resolva uma questão de prova.

Resposta

a) v\approx 1{,}2566\\ \mathrm{m/s}.
b) p_{\text{adm}}=2{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} (adotado como valor de projeto típico).
c) largura da bucha L=31{,}25\\ \mathrm{mm}. \
folga diametral \Delta=0{,}06\\ \mathrm{mm}.
d) espessura mínima do filme h_{\min}\approx 9{,}0\\ \mu\mathrm{m}.
e) potência de atrito P_{\text{fric}}\approx 31{,}42\\ \mathrm{W}. \
viscosidade dinâmica necessária \eta\approx 0{,}152\\ \mathrm{Pa\cdot s} (cinemática \nu\approx 174{,}7\\ \text{cSt} assumindo \rho\approx870\\ \mathrm{kg/m^3}).
f) vazão de lubrificante (estimada para \Delta T=20\\ \mathrm{K}) Q\approx 9{,}03\times10^{-7}\\ \mathrm{m^3/s}\approx 3{,}25\\ \mathrm{L/h}. \
temperatura final estimada T_{\text{final}}\approx 65^\circ\mathrm{C}.

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