Questão 11 (Prof. Matheus Pinheiro) -

Uma máquina térmica de um gás ideal monoatômico funciona de acordo com um ciclo que tem inicialmente uma expansão adiabática partindo de um estado A de volume V_{0} até um estado B cujo volume é r V_{0}(c o m r>1). O processo é seguido por uma contração isotérmica de B até o estado C, que possui o mesmo volume de A. Finalmente, o ciclo se completa com um processo isovolumétrico C até A . Considere R como sendo a constante universal dos gases e n o número de mols do gás.
O rendimento do ciclo apenas em função de T_{\max } e T_{\min } que são, respectivamente, as temperaturas máxima e mínima entre as quais o ciclo opera vale:
a) 1-\frac{T_{\max }}{\left(T_{\min }-T_{\max }\right)} \ln \left(\frac{T_{\min }}{T_{\max }}\right).
b) 1-\frac{T_{\max }}{\left(T_{\max }-T_{\min }\right)}.
c) 1-\frac{T_{\text {min }}}{\left(T_{\text {max }}-T_{\text {min }}\right)}.
d) 1-\frac{T_{\max }}{\left(T_{\max }-T_{\min }\right)} \ln \left(\frac{T_{\max }}{T_{\min }}\right).
e) 1-\frac{T_{\min }}{\left(T_{\max }-T_{\min }\right)} \ln \left(\frac{T_{\max }}{T_{\min }}\right).

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo térmico com um gás ideal monoatômico em três etapas:
  1. Expansão adiabática reversível de A (volume V_{0}, temperatura T_{\max}) até B (volume rV_{0}, temperatura T_{\min}).
  2. Contração isotérmica de B a C a T_{\min}, voltando ao volume V_{0}.
  3. Aquecimento isovolumétrico de C (volume V_{0}, temperatura T_{\min}) até A (mesmo volume, temperatura T_{\max}).
    O objetivo é calcular o rendimento
\eta = \frac{W_{\text{líquido}}}{Q_{\text{absorvido}}}í
em função de T_{\max} e T_{\min}.

Passo 2

Calculemos os calores e trabalhos em cada etapa, adotando trabalho positivo quando expandimos o gás.
Como o gás é monoatômico, C_{V}=\tfrac{3}{2}R.
- A→B (adiabática): Q_{AB}=0. Pelo 1.° Princípio,
W_{AB}=-\Delta U_{AB}=-nC_{V}(T_{B}-T_{A}) =\frac{3}{2}nR\,(T_{\max}-T_{\min}).
- B→C (isotérmica a T_{\min}):
W_{BC} =nR\,T_{\min}\ln\frac{V_{C}}{V_{B}} =nR\,T_{\min}\ln\frac{V_{0}}{rV_{0}} =-nR\,T_{\min}\ln r,
e como \DeltaU=0, segue Q_{BC}=W_{BC}.
- C→A (isocórico): W_{CA}=0 e
Q_{CA}=nC_{V}(T_{A}-T_{C}) =\frac{3}{2}nR\,(T_{\max}-T_{\min}).
O único calor absorvido é Q_{\text{in}}=Q_{CA}. O trabalho líquido é
W_{\text{líquido}} =W_{AB}+W_{BC}+W_{CA} =\frac{3}{2}nR\,(T_{\max}-T_{\min}) -nR\,T_{\min}\ln r.í

Passo 3

O rendimento fica
\eta =\frac{W_{\text{líquido}}}{Q_{\text{in}}} =\frac{\displaystyle\frac{3}{2}nR\,(T_{\max}-T_{\min}) -nR\,T_{\min}\ln r} {\displaystyle\frac{3}{2}nR\,(T_{\max}-T_{\min})} =1-\frac{2\,T_{\min}\,\ln r}{3\,(T_{\max}-T_{\min})}.í

Passo 4

Usamos a relação adiabática reversível T\,V^{\gamma-1}=\text{const} com \gamma=5/3:
T_{\max}V_{0}^{2/3} =T_{\min}(rV_{0})^{2/3} \;\Longrightarrow\; r=\Bigl(\tfrac{T_{\max}}{T_{\min}}\Bigr)^{3/2}, \;\ln r=\tfrac{3}{2}\ln\frac{T_{\max}}{T_{\min}}.
Substituindo em \eta:
\eta =1-\frac{2\,T_{\min}}{3\,(T_{\max}-T_{\min})} \cdot\frac{3}{2}\ln\frac{T_{\max}}{T_{\min}} =1-\frac{T_{\min}}{T_{\max}-T_{\min}} \ln\frac{T_{\max}}{T_{\min}}.

Resposta

e) 1-\frac{T_{\min}}{\bigl(T_{\max}-T_{\min}\bigr)}\ln\!\bigl(\tfrac{T_{\max}}{T_{\min}}\bigr).

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