Questão 12. Considere um experimento de interferência em filmes finos de óleo sobre água ( \mathrm{n} \_óleo =1,4, \mathrm{n} \_água =1,33 ). Para \mathrm{t}= 150 nm e \lambda=450 \mathrm{~nm}, determine se a interferência é construtiva ou destrutiva na reflexão, considerando inversões de fase.

Passo 1

O enunciado dá um filme fino de óleo sobre água com os índices de refração e medidas:
  • n_{\text{óleo}}=1{,}4,
  • n_{\text{água}}=1{,}33,
  • espessura do filme t=150\\ \text{nm},
  • comprimento de onda no ar (ou vácuo) \lambda=450\\ \text{nm}.
A pergunta: para reflexão do feixe incidente, a interferência entre o raio refletido na superfície ar–óleo e o raio refletido na superfície óleo–água é construtiva ou destrutiva, levando em conta inversões de fase nas reflexões?

Passo 2

Entender as inversões de fase ao refletir:
  • Regra prática: ao refletir numa interface onde o raio vai de um meio de menor índice para um meio de maior índice ( n_{\text{incidente}}<n_{\text{transmitido}}) ocorre inversão de fase de \pi (equivalente a meio comprimento de onda).
  • Ao refletir indo de maior para menor índice ( n_{\text{incidente}}>n_{\text{transmitido}}) NÃO ocorre inversão de fase.
Vou aplicar isso às duas superfícies do filme.

Passo 3

Identificar as duas reflexões relevantes:
  1. Reflexão no topo (ar → óleo): aqui n_{\text{ar}}\approx1{,}0 e n_{\text{óleo}}=1{,}4. Como 1{,}0<1{,}4, essa reflexão sofre inversão de fase de \pi.
  2. Reflexão no fundo (óleo → água): aqui n_{\text{óleo}}=1{,}4 e n_{\text{água}}=1{,}33. Como 1{,}4>1{,}33, essa reflexão NÃO sofre inversão de fase.
Portanto, entre as duas reflexões há uma única inversão de fase total de \pi.

Passo 4

Calcular a diferença de fase devido ao caminho extra percorrido dentro do filme.
  • O raio que entra e reflete na parte inferior percorre dentro do filme ida e volta, ou seja um caminho óptico extra de 2 n_{\text{óleo}} t.
  • Em termos de comprimento de onda no vácuo: a diferença de fase geométrica \delta é
\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,2 n_{\text{óleo}} t.
Substituindo os valores:
2 n_{\text{óleo}} t = 2\cdot 1{,}4\cdot 150\\ \text{nm} = 420\\ \text{nm}.
Logo
\delta = \frac{2\pi}{450\\ \text{nm}}\cdot 420\\ \text{nm} = 2\pi\cdot\frac{420}{450} = 2\pi\cdot 0{,}933\overline{3}.

Passo 5

Condição geral de interferência na reflexão quando há exatamente UMA inversão de fase:
  • As duas ondas têm diferença de fase total \Delta\Phi=\delta+\pi (a \pi vem da inversão única).
  • Interferência construtiva na reflexão ocorre quando \Delta\Phi = 2\pi m com m\in\mathbb{Z}. Isso leva a
\delta = 2\pi\left(m-\tfrac{1}{2}\right) \quad\Longleftrightarrow\quad 2 n t = \left(m-\tfrac{1}{2}\right)\lambda.
  • Interferência destrutiva na reflexão ocorre quando \Delta\Phi = (2m+1)\pi. Isso leva a
\delta = 2\pi m \quad\Longleftrightarrow\quad 2 n t = m\lambda.
Então, para uma inversão única:
  • se 2 n t for múltiplo inteiro de \lambda → destrutiva;
  • se 2 n t for meio-odd-múltiplo de \lambda (metade somada ao inteiro) → construtiva.

Passo 6

Comparar com nossos números:
  • Calculamos 2 n_{\text{óleo}} t = 420\\ \text{nm}.
  • Relação com \lambda=450\\ \text{nm}:
\frac{2 n t}{\lambda} = \frac{420}{450}=0{,}933\overline{3}.
Isso não é um número inteiro (que daria destrutivo exato) nem um número da forma m+\tfrac{1}{2} (que daria construtivo exato). Para interpretar, veja as duas possibilidades mais próximas:
  • Para m=1 na condição destrutiva teríamos 2 n t = 1\lambda = 450\\ \text{nm} (nosso valor 420 nm está próximo, mas menor).
  • Para m=0 na condição construtiva teríamos 2 n t = \tfrac{1}{2}\lambda = 225\\ \text{nm} (muito distante).
Também podemos avaliar a diferença de fase total numericamente:
\delta = 2\pi\cdot0{,}933\overline{3}\approx 5{,}8655\\ \text{rad}.
Somando a inversão \pi:
\Delta\Phi = \delta+\pi \approx 5{,}8655 + 3{,}1416 = 9{,}0071\\ \text{rad}.
Reduzindo módulo 2\pi (ou seja, subtraindo 2\pi\approx6{,}2832):
\Delta\Phi \bmod 2\pi \approx 9{,}0071-6{,}2832 = 2{,}7239\\ \text{rad}.
Compare com 0 (construtivo) e com \pi\approx3{,}1416 (destrutivo): 2{,}7239\\ \text{rad} está mais perto de \pi do que de 0. Portanto a interferência é de natureza destrutiva (não perfeita, mas predominante).

Passo 7

Conclusão física e dica para prova:
  • Houve apenas UMA inversão de fase (no topo ar→óleo), logo as condições usuais se invertem em relação ao caso sem inversões: 2 n t = m\lambda → mínima (destrutiva) na reflexão; 2 n t = (m+\tfrac{1}{2})\lambda → máxima (construtiva) na reflexão.
  • Com 2 n t = 420\\ \text{nm} e \lambda=450\\ \text{nm}, estamos bem próximos de m=1 na condição destrutiva, então a reflexão é predominantemente destrutiva (ou seja, o brilho refletido é reduzido).
Vai com calma — se te pedirem somente “construtiva ou destrutiva”, a resposta correta aqui é que a interferência é destrutiva (aproximadamente).

Resposta

Destrutiva (predominantemente; não é exatamente nula, mas aproxima-se da condição 2n t\approx\lambda).

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