### Questão 3: (12.0 ptos)
Esboce um gráfico da condutividade térmica do Silício em função da temperatura e justifique o comportamento.
Esboce um gráfico da condutividade térmica do Silício em função da temperatura e justifique o comportamento.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar qualitativamente o comportamento da condutividade térmica do silício
em função da temperatura
e justificar fisicamente esse formato. Vamos recorrer à teoria de transporte de calor em semicondutores, em que a condução é dominada por fônons e seus mecanismos de espalhamento.
Passo 2
Em baixas temperaturas (tipicamente
K), o número de fônons cresce com
segundo a lei de Debye, de modo que o calor específico do retículo
. Como o comprimento de livre percurso dos fônons é limitado principalmente pelas fronteiras do cristal (espalhamento prevalente), a condutividade segue aproximadamente
Passo 3
À medida que
aumenta para algumas dezenas de kelvins, o comprimento de livre percurso reduz-se por espalhamento entre fônons (processos Umklapp ainda pouco frequentes), fazendo com que
atinja um valor máximo em
K.
Passo 4
Para
K, os processos Umklapp (fônon + fônon
fônon com momento de rede) tornam-se dominantes e geram um coeficiente de espalhamento
. Isso leva a
em altas temperaturas (tipicamente acima de algumas centenas de kelvins).
Passo 5
Combinando esses regimes, o gráfico qualitativo de
mostra:
- Crescimento rápido
em baixas . - Pico de condutividade em
K. - Queda suave
em altas , passando por W/m·K em K e diminuindo para valores inferiores a 50 W/m·K acima de 600 K.
Resposta
Esboço qualitativo de
:
Eixo horizontal: temperatura
(de 0 a 1000 K)
Eixo vertical: condutividade térmica (W/m·K)
Eixo vertical: condutividade térmica
. Peak
.
.
______.
T^3 regime .
.
.
.
.
0 K —————————————————————————————————————— 1000 K
↑ ↓ ↓
| | |
0 W/m·K 300 K 600 K
↑ ↓ ↓
| | |
0 W/m·K 300 K 600 K
Justificativa:
- Em baixas
, porque o calor específico fônon cresce como e o espalhamento é limitado por fronteiras. - Surge um máximo quando o espalhamento por fônon–fônon (Umklapp) ainda é fraco.
- Em altas
, o espalhamento Umklapp domina ( ), levando a .