### Questão 3: (12.0 ptos)
Esboce um gráfico da condutividade térmica do Silício em função da temperatura e justifique o comportamento.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar qualitativamente o comportamento da condutividade térmica do silício \kappa(T) em função da temperatura T e justificar fisicamente esse formato. Vamos recorrer à teoria de transporte de calor em semicondutores, em que a condução é dominada por fônons e seus mecanismos de espalhamento.

Passo 2

Em baixas temperaturas (tipicamente T\lesssim 20 K), o número de fônons cresce com T segundo a lei de Debye, de modo que o calor específico do retículo \propto T^3. Como o comprimento de livre percurso dos fônons é limitado principalmente pelas fronteiras do cristal (espalhamento prevalente), a condutividade segue aproximadamente
\kappa(T)\propto T^3.

Passo 3

À medida que T aumenta para algumas dezenas de kelvins, o comprimento de livre percurso reduz-se por espalhamento entre fônons (processos Umklapp ainda pouco frequentes), fazendo com que \kappa(T) atinja um valor máximo em T\sim10\!-\!50 K.

Passo 4

Para T\gtrsim 50 K, os processos Umklapp (fônon + fônon \to fônon com momento de rede) tornam-se dominantes e geram um coeficiente de espalhamento \tau^{-1}\propto T. Isso leva a
\kappa(T)\propto\frac{1}{T}
em altas temperaturas (tipicamente acima de algumas centenas de kelvins).

Passo 5

Combinando esses regimes, o gráfico qualitativo de \kappa(T) mostra:
  1. Crescimento rápido \sim T^3 em baixas T.
  2. Pico de condutividade em T\approx10\!-\!50 K.
  3. Queda suave \sim1/T em altas T, passando por \kappa\approx150 W/m·K em T=300 K e diminuindo para valores inferiores a 50 W/m·K acima de 600 K.

Resposta

Esboço qualitativo de \kappa(T):
Eixo horizontal: temperatura T (de 0 a 1000 K)
Eixo vertical: condutividade térmica \kappa (W/m·K)
                                           . Peak
                                         .
                                       . 
                               ______.
            T^3 regime       . 
                       .    
                     .      
                   .        
                 .          
0 K —————————————————————————————————————— 1000 K
↑ ↓ ↓
| | |
0 W/m·K 300 K 600 K
Justificativa:
  • Em baixas T, \kappa\propto T^3 porque o calor específico fônon cresce como T^3 e o espalhamento é limitado por fronteiras.
  • Surge um máximo quando o espalhamento por fônon–fônon (Umklapp) ainda é fraco.
  • Em altas T, o espalhamento Umklapp domina ( \tau^{-1}\propto T), levando a \kappa\propto1/T.

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