Questão 13. Analise a afirmação:
“Se o rotacional de um campo é nulo, então o campo é conservativo.”
Discuta hipóteses e contraexemplos.

Passo 1

O enunciado dá a afirmação: “Se o rotacional de um campo é nulo, então o campo é conservativo.” O que é pedido: analisar essa afirmação, explicando sob que hipóteses ela é verdadeira e apresentando contraexemplos quando for falsa. Informações relevantes fornecidas implicitamente pelo enunciado:
  • Tem-se um campo vetorial \mathbf{F} (tipicamente em \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3).
  • A propriedade dada é \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} (rotacional nulo) em algum domínio.
  • A conclusão a examinar é que existe um potencial escalar \varphi tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi (campo conservativo).

Passo 2

Primeira observação (fácil e sempre verdadeira): se um campo é conservativo então seu rotacional é nulo. Vou provar isso passo a passo. Suponha que exista \varphi tal que \mathbf{F}=\nabla\varphi. Escrevendo componentes em \mathbb{R}^3,
\mathbf{F}=(P,Q,R)=\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y},\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right).
O rotacional é
\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Substituindo P,Q,R em termos de \varphi e usando a igualdade das derivadas parciais mistas (se \varphi é C^2), cada componente vira zero. Por exemplo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial y\partial x}=0.
Portanto \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}. Conclusão: ser conservativo implica ter rotacional nulo (essa direção é segura, precisa de hipóteses de regularidade mínima para trocar derivadas parciais).

Passo 3

Agora a direção converso: “rotacional nulo implica conservativo”. Isso nem sempre é verdade; precisamos colocar hipóteses. Uma versão clássica e útil em provas é:
Teorema (versão útil): seja U\subset\mathbb{R}^3 um conjunto aberto e simplesmente conectado, e seja \mathbf{F} um campo vetorial com componentes de classe C^1 em U. Se
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}\quad\text{em }U,
então existe uma função \varphi em U tal que
\mathbf{F}=\nabla\varphi,
ou seja, \mathbf{F} é conservativo. Vou explicar o porquê e o significado das hipóteses em detalhes.

Passo 4

Significado das hipóteses:
  • “Aberto”: pontos do domínio têm vizinhanças inteiras contidas no domínio — necessário para usar integração de linha local e derivadas.
  • “Simplesmente conectado”: todo laço fechado em U pode ser continuamente contraído a um ponto dentro de U; uma forma intuitiva: não há “buracos” topológicos. Ex.: \mathbb{R}^3 é simplesmente conectado; a reta com o ponto removido \mathbb{R}^2\setminus\{0\} NÃO é.
  • Classe C^1: as componentes de \mathbf{F} têm derivadas parciais contínuas — isso garante que \nabla\times\mathbf{F} está bem definida e permite usar teoremas de Stokes/Green e intercâmbio de integrais/derivadas.

Passo 5

Esboço da prova (método que funciona em provas): mostrar que \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} implica integral de linha sobre qualquer curva fechada é zero; daí construir potencial por integrais de linha de forma independente do caminho.
  1. Seja \gamma qualquer curva fechada simples em U. Como U é simplesmente conectado, \gamma é fronteira de alguma superfície orientada S contida em U. Pelo Teorema de Stokes,
\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}.
  1. Como \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em U, o integrando da superfície é zero, logo a integral de linha sobre \gamma é zero:
\oint_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.
  1. Se toda integral sobre curvas fechadas é zero então a integral de linha entre dois pontos é independente do caminho. Assim definindo, para um ponto base a\in U,
\varphi(x)=\int_{C_{a\to x}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
essa definição não depende da escolha do caminho C_{a\to x}. Pode-se então mostrar (diferenciando a integral) que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Portanto \mathbf{F} é gradiente, i.e. conservativo.

Passo 6

Conclusão do argumento: com as hipóteses “domínio aberto e simplesmente conectado” e \mathbf{F}\in C^1, temos equivalência local/global entre \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} e \mathbf{F}=\nabla\varphi. Essa é a forma em que a afirmação do enunciado se torna verdadeira. Em provas, normalmente é suficiente citar a condição “domínio simplesmente conectado” (ou “domínio sem buracos”) e regularidade C^1.

Passo 7

Agora os contraexemplos — porque a afirmação sem hipóteses é falsa. O clássico é o campo definido na \mathbb{R}^2 menos a origem. Defina \mathbf{F}:\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\to\mathbb{R}^2 por
\mathbf{F}(x,y)=\left(-\frac{y}{x^2+y^2},\;\frac{x}{x^2+y^2}\right).
Este campo aparece muitas vezes e é associado ao gradiente do ângulo polar, mas cuidado: o ângulo não é globalmente bem definido.

Passo 8

Verificação de que \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} fora da origem. Em 2D o “rotacional” escalar é
\operatorname{curl}\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\right).
Calcule as derivadas (faça devagar!):
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right) =\frac{(x^2+y^2)-x(2x)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2},
\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{y}{x^2+y^2}\right) =-\frac{(x^2+y^2)-y(2y)}{(x^2+y^2)^2} =-\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}.
Subtraindo,
\operatorname{curl}\mathbf{F} =\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}-\left(-\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right)=0,
para todo (x,y)\neq(0,0). Então o rotacional é nulo no domínio em que o campo está definido.

Passo 9

Mas \mathbf{F} NÃO é conservativo em \mathbb{R}^2\setminus\{0\}. Para ver isso calcule a integral de linha ao longo do círculo unitário C orientado positivamente: parametrize por x=\cos t,\;y=\sin t,\;t\in[0,2\pi]. Então
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}\left(-\frac{\sin t}{1}\cdot(-\sin t)+\frac{\cos t}{1}\cdot\cos t\right)\,dt =\int_{0}^{2\pi}(\sin^2 t+\cos^2 t)\,dt =\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi\neq0.
Como existe uma curva fechada com integral diferente de zero, o campo não é conservativo. Isto contradiz a afirmação se não exigirmos que o domínio seja simplesmente conectado: aqui o domínio tem um “buraco” no centro.

Passo 10

Interpretação intuitiva do contraexemplo: \mathbf{F} é localmente um gradiente (em qualquer região que não envolva circuito em torno da origem) — por isso o rotacional é zero localmente — mas globalmente há monodromia: percorrer um laço em volta da origem produz ganho no potencial (o ângulo aumenta de 2\pi), impedindo existência de potencial global.

Passo 11

Outros comentários úteis para prova e prática:
  • Em \mathbb{R}^2 costuma-se dizer: se \mathbf{F}=(P,Q) tem P,Q\in C^1 em um domínio simplesmente conectado e \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x então \mathbf{F} é conservativo.
  • Em \mathbb{R}^3 a condição análoga usa \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
  • Se o domínio não é simplesmente conectado, a condição \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} é apenas necessária, não suficiente. A teoria de De Rham / cohomologia diz que obstruções topológicas (buracos) criam classes de campos com rotacional zero mas não exatos.
  • Em questões de prova, procedimento prático: verifique (i) se \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} no domínio considerado; (ii) se o domínio é conexo e simplesmente conectado (ou se tem buracos / singularidades); (iii) se tudo OK, construa \varphi por integração de linha a partir de um ponto fixo.

Passo 12

Resumo didático rápido (como colar na prova mentalmente):
  • Sempre: \mathbf{F}=\nabla\varphi \Rightarrow \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
  • Com hipóteses extras (domínio aberto, conexo, simplesmente conectado e \mathbf{F}\in C^1): \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}\Rightarrow \mathbf{F}=\nabla\varphi.
  • Sem a hipótese de simples conectividade existe contraexemplo clássico: \mathbf{F}(x,y)=\bigl(-\dfrac{y}{x^2+y^2},\dfrac{x}{x^2+y^2}\bigr) em \mathbb{R}^2\setminus\{0\} tem rotacional zero mas não é conservativo.

Resposta

A afirmação é falsa em geral. É verdadeira se acrescentarmos hipóteses de regularidade e topologia: se \mathbf{F}\in C^1 definida em um domínio aberto e simplesmente conectado de \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3 e \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}, então \mathbf{F} é conservativo. Contraexemplo sem essa hipótese: \mathbf{F}(x,y)=\bigl(-\dfrac{y}{x^2+y^2},\dfrac{x}{x^2+y^2}\bigr) em \mathbb{R}^2\setminus\{0\} tem \nabla\times\mathbf{F}=0 mas \oint_{|z|=1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2\pi\neq0, logo não é conservativo.

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