Questão 13. Analise a afirmação:
“Se o rotacional de um campo é nulo, então o campo é conservativo.”
Discuta hipóteses e contraexemplos.
“Se o rotacional de um campo é nulo, então o campo é conservativo.”
Discuta hipóteses e contraexemplos.
Passo 1
O enunciado dá a afirmação: “Se o rotacional de um campo é nulo, então o campo é conservativo.” O que é pedido: analisar essa afirmação, explicando sob que hipóteses ela é verdadeira e apresentando contraexemplos quando for falsa. Informações relevantes fornecidas implicitamente pelo enunciado:
- Tem-se um campo vetorial
(tipicamente em ou ). - A propriedade dada é
(rotacional nulo) em algum domínio. - A conclusão a examinar é que existe um potencial escalar
tal que (campo conservativo).
Passo 2
Primeira observação (fácil e sempre verdadeira): se um campo é conservativo então seu rotacional é nulo. Vou provar isso passo a passo. Suponha que exista
tal que
. Escrevendo componentes em
,
O rotacional é
Substituindo
em termos de
e usando a igualdade das derivadas parciais mistas (se
é
), cada componente vira zero. Por exemplo,
Portanto
. Conclusão: ser conservativo implica ter rotacional nulo (essa direção é segura, precisa de hipóteses de regularidade mínima para trocar derivadas parciais).
Passo 3
Agora a direção converso: “rotacional nulo implica conservativo”. Isso nem sempre é verdade; precisamos colocar hipóteses. Uma versão clássica e útil em provas é:
Teorema (versão útil): seja
um conjunto aberto e simplesmente conectado, e seja
um campo vetorial com componentes de classe
em
. Se
então existe uma função
em
tal que
ou seja,
é conservativo. Vou explicar o porquê e o significado das hipóteses em detalhes.
Passo 4
Significado das hipóteses:
- “Aberto”: pontos do domínio têm vizinhanças inteiras contidas no domínio — necessário para usar integração de linha local e derivadas.
- “Simplesmente conectado”: todo laço fechado em
pode ser continuamente contraído a um ponto dentro de ; uma forma intuitiva: não há “buracos” topológicos. Ex.: é simplesmente conectado; a reta com o ponto removido NÃO é. - Classe
: as componentes de têm derivadas parciais contínuas — isso garante que está bem definida e permite usar teoremas de Stokes/Green e intercâmbio de integrais/derivadas.
Passo 5
Esboço da prova (método que funciona em provas): mostrar que
implica integral de linha sobre qualquer curva fechada é zero; daí construir potencial por integrais de linha de forma independente do caminho.
- Seja
qualquer curva fechada simples em . Como é simplesmente conectado, é fronteira de alguma superfície orientada contida em . Pelo Teorema de Stokes,
- Como
em , o integrando da superfície é zero, logo a integral de linha sobre é zero:
- Se toda integral sobre curvas fechadas é zero então a integral de linha entre dois pontos é independente do caminho. Assim definindo, para um ponto base
,
essa definição não depende da escolha do caminho
. Pode-se então mostrar (diferenciando a integral) que
. Portanto
é gradiente, i.e. conservativo.
Passo 6
Conclusão do argumento: com as hipóteses “domínio aberto e simplesmente conectado” e
, temos equivalência local/global entre
e
. Essa é a forma em que a afirmação do enunciado se torna verdadeira. Em provas, normalmente é suficiente citar a condição “domínio simplesmente conectado” (ou “domínio sem buracos”) e regularidade
.
Passo 7
Agora os contraexemplos — porque a afirmação sem hipóteses é falsa. O clássico é o campo definido na
menos a origem. Defina
por
Este campo aparece muitas vezes e é associado ao gradiente do ângulo polar, mas cuidado: o ângulo não é globalmente bem definido.
Passo 8
Verificação de que
fora da origem. Em 2D o “rotacional” escalar é
Calcule as derivadas (faça devagar!):
Subtraindo,
para todo
. Então o rotacional é nulo no domínio em que o campo está definido.
Passo 9
Mas
NÃO é conservativo em
. Para ver isso calcule a integral de linha ao longo do círculo unitário
orientado positivamente: parametrize por
. Então
Como existe uma curva fechada com integral diferente de zero, o campo não é conservativo. Isto contradiz a afirmação se não exigirmos que o domínio seja simplesmente conectado: aqui o domínio tem um “buraco” no centro.
Passo 10
Interpretação intuitiva do contraexemplo:
é localmente um gradiente (em qualquer região que não envolva circuito em torno da origem) — por isso o rotacional é zero localmente — mas globalmente há monodromia: percorrer um laço em volta da origem produz ganho no potencial (o ângulo aumenta de
), impedindo existência de potencial global.
Passo 11
Outros comentários úteis para prova e prática:
- Em
costuma-se dizer: se tem em um domínio simplesmente conectado e então é conservativo. - Em
a condição análoga usa . - Se o domínio não é simplesmente conectado, a condição
é apenas necessária, não suficiente. A teoria de De Rham / cohomologia diz que obstruções topológicas (buracos) criam classes de campos com rotacional zero mas não exatos. - Em questões de prova, procedimento prático: verifique (i) se
no domínio considerado; (ii) se o domínio é conexo e simplesmente conectado (ou se tem buracos / singularidades); (iii) se tudo OK, construa por integração de linha a partir de um ponto fixo.
Passo 12
Resumo didático rápido (como colar na prova mentalmente):
- Sempre:
. - Com hipóteses extras (domínio aberto, conexo, simplesmente conectado e
): . - Sem a hipótese de simples conectividade existe contraexemplo clássico:
em tem rotacional zero mas não é conservativo.
Resposta
A afirmação é falsa em geral. É verdadeira se acrescentarmos hipóteses de regularidade e topologia: se
definida em um domínio aberto e simplesmente conectado de
ou
e
, então
é conservativo. Contraexemplo sem essa hipótese:
em
tem
mas
, logo não é conservativo.